2016年入試問題研究に戻る京大特色入試総人理系2番
関数 $f(x)$ は2回微分可能であり，$f(0) >0 >f'(x)$ かつすべての $x$ に対し $f''(x)< 0$ を満たすとする．
問1 $f(a)=0$ を満たす正の数$a$がただ1つ存在することを示せ．
問2 曲線 $y=f(x)$ の点 $(t,\ f(t))\ (0\leqq t \leqq a)$ における曲線の接線と $x$ 軸,および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を $S(t)$ とするとき，$S(t)$ の最小値を与える点が区間 $(0,\ a)$ 内にただ１つ存在することを示せ．