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千葉大11番解答

(1),(2)  漸化式から$a_{n+1}-1\ne 0$で \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}=1-\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k} \] よってまた$n\geqq 2$のとき \[ \dfrac{1}{a_n-1}=1-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{a_k} \] 辺々引いて, \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_n-1}=-\dfrac{1}{a_n} \] これから \[ \dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_n(a_n-1)} \] となり, \[ a_{n+1}=a_n(a_n-1)+1 \] である.これから \[ \begin{array}{l} a_2=2(2-1)+1=3,\ a_3=3(3-1)+1=7,\ \\ a_4=7(7-1)+1=43,\ a_3=43(43-1)+1=1807 \end{array} \]

(3)  \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k}&=& \dfrac{1}{a_1}+\sum_{k=2}^n\left(-\dfrac{1}{a_{k+1}-1}+\dfrac{1}{a_k-1} \right)\\ &=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}+\dfrac{1}{a_2-1} =1-\dfrac{1}{a_{n+1}-1} \end{eqnarray*} ここで,$a_1=2>1$かつ \[ a_{n+1}-a_n=a_n(a_n-1)+1-a_n=(a_n-1)^2 \] より,$a_n>1$なら$a_{n+1} > a_n > 1$となり,つねに$a_n>1$. これからまた,数列$\{a_n\}$は単調に増加する自然数列である. 従って,同式より階差$a_{n+1}-a_n$も増大する.
 よって$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$である. この結果, \[ \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_k}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k} =\lim_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{a_{n+1}-1} \right)=1 \] つまり,$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_k}$は収束し,その和は1である.

※ 本問の数列 $ \{a_n\} $ をシルベスター数列という.
シルベスター数列については、 シルベスター数列の拡張 などを参照のこと.

問題