次: 一般化定理 上: 単位分数のエジプト分数による下からの近似 前: 入試問題の一般化

シルベスター数列の拡張

定義 1        $N$を自然数の定数とする．次の漸化式

$$q_0=N,\ \quad q_{k+1}=q_0q_1\cdots q_k+1 \quad (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$$

で定義される数列$\{q_k\}$を $N\textbf{-シルベスター数列}$，$N=1$のときはシルベスター数列という． □

補題 1        $N$-シルベスター数列$\{q_k\}$は，次の関係式を満たす．

$$\dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_n} =\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1q_2\cdots q_n} <\dfrac{1}{N}$$

証明      数学的帰納法で示す． $n=1$のときは$q_1=N+1$なので，

$$\dfrac{1}{q_1}=\dfrac{1}{N+1} =\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{N(N+1)} =\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1} <\dfrac{1}{N}$$

より成立．$n$で成立とする．

$$\begin{eqnarray*} &&\dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_{n+1}} =\... ...\dfrac{1}{N}-\dfrac{1}{q_0q_1q_2\cdots q_nq_{n+1}}<\dfrac{1}{N} \end{eqnarray*}$$

つまり，$n+1$のときも成立する． よって命題はすべての$n$で成立する． （証明終わり）