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順天堂大3番

関数$f(x)$にについて，区間Iにおける次の性質($\mathrm{A}$)を考える．

性質($\mathrm{A}$)　　 区間Iに含まれる任意の2点$a,\ b$に対して \[ f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\geqq \dfrac{f(a)+f(b)}{2} \] が成り立つ．

(1)　関数$f(x)=-x^2$は区間$-\infty < x < \infty$において性質($\mathrm{A}$)を持つことを示せ．

(2)　関数$f(x)$が区間Iにおいて性質($\mathrm{A}$)を持つとき，区間Ｉに含まれる$n$個の任意の数 $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して

($\mathrm{B}$)　　　　 $f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \right)\geqq \dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}$

が成り立つことが知られている． このことを$n=2^k$($k$は自然数)の場合について証明せよ．

(3)　連続関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$において性質($\mathrm{A}$)を持つとき， \[ \int_0^1f(x)\,dx\leqq f\left(\dfrac{1}{2} \right) \] が成り立つことを示せ．

解答

『数学対話』のなかの「凸領域と凸関数」を参照のこと．