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順天堂大3番解答

(1) $-\infty < a,\ b<\infty$の実数$a$と$b$に対して, \begin{eqnarray*} &&f\left(\dfrac{a+b}{2} \right)-\dfrac{f(a)+f(b)}{2} =-\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2-\dfrac{-a^2-b^2}{2}\\ &=&-\dfrac{1}{4}\left(-a^2-2ab-b^2+2a^2+2b^2\right)=\dfrac{1}{4}(a-b)^2\geqq 0 \end{eqnarray*} である.よって$f\left(\dfrac{a+b}{2} \right)\geqq \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$が成立し,この$f(x)$は性質($\mathrm{A}$)を持つ. また$a=b$のとき等号が成立する.

(2) $k$に関し,$2^k$個の文字の個数に関する数学的帰納法で示す.
  $k=1$のときは関数$f(x)$が区間Iにおいて性質($\mathrm{A}$)を持つことより成立する.
  $k$のとき成立するとする.つまり$2^k$個なら成立とする.
  $k+1$のとき
\begin{eqnarray*} &&f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}} \right)\\ &=&f\left\{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k}}}{2^k}+\dfrac{a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^k}\right) \right\}\\ (性質(\mathrm{A})より)&\geqq &\dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2^{k}}}{2^k}\right) +f\left(\dfrac{a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots+a_{2^{k+1}}}{2^k}\right) \right\}\\ (帰納法の仮定より)&\geqq &\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2^{k}})}{2^k}\right.\\ &&\quad \quad \quad \quad \left. +\dfrac{f(a_{2^k+1})+f(a_{2^k+2})+\cdots+f(a_{2^{k+1}})}{2^k}\right)\\ &=&\dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2^{k+1}})}{2^{k+1}} \end{eqnarray*} よって$k+1$のときも成立し,すべての自然数$k$に対して$n=2^k$のとき(B)が成立する.

(3) $i=1,\ \cdots,\ n$に対して$\displaystyle \dfrac{i}{n}\in [0,\ 1]$なので, $n=2^k$のとき(2)から, \[ \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^nf\left(\dfrac{j}{n}\right)\le f\left(\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n\dfrac{j}{n}\right)=f\left(\dfrac{n+1}{2n} \right) \quad \cdots(1) \] が成り立つ. 関数$f(x)$は連続であるから,自然数$n$に対して, \begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^nf\left(\dfrac{j}{n}\right)=\int_0^1f(x)\,dx\\ &&\lim_{n \to \infty}f\left(\dfrac{n+1}{2n} \right) =f\left(\lim_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{2n} \right)=f\left(\dfrac{1}{2} \right) \end{eqnarray*} がそれぞれ成り立つ.
$(1)$において,$k\to \infty$とする.このとき$n\to \infty$である. 従って,不等式 \[ \int_0^1f(x)\,dx\leqq f\left(\dfrac{1}{2} \right) \] が成り立つ.

別解  $x\in [0,\ 1]$とすると$1-x\in [0,\ 1]$である.したがって, \[ \dfrac{f(x)+f(1-x)}{2}\leqq f\left(\dfrac{x+1-x}{2}\right) =f\left(\dfrac{1}{2}\right) \] が成り立つ.これから \[ \dfrac{1}{2}\int_0^1\{f(x)+f(1-x)\}\,dx\leqq \int_0^1f\left(\dfrac{1}{2}\right)\,dx=f\left(\dfrac{1}{2}\right) \] が成り立つ.ここで$t=1-x$と置換すると, \[ \int_0^1f(1-x)\,dx=\int_1^0f(t)\,(-1)dt=\int_0^1f(t)\,dt \] なので,不等式 \[ \int_0^1f(x)\,dx\leqq f\left(\dfrac{1}{2} \right) \] が成り立つ.

問題