2017年入試問題研究に戻る

神大後期理系4番

$ n $ を正の整数とする.Aさんは1から $ n $ までの整数が書かれたカードを1枚ずつもち, Bさんは0から $ n $ までの整数が書かれたカードを1枚ずつもっているとする. AさんとBさんが,次の試行を交互にくり返し行う.

・  相手のカードから1枚のカードをランダムに引く. 引いたカードに書かれた整数と同じ整数のカードが自分のカードの 中にある場合は,そのカードと引いたカードを一組みにして捨てる. そうでない場合は,引いたカードを自分のカードに加える.
試行の回数を, 2人のうちのどちらか一方が試行を行ったときに1回の試行を行ったものとして数える. 試行の総回数が100回になった時点,もしくは, 2人のうちのどちらか一方のもっているカードがなくなった時点で試行を続けることをやめる. $ k $ が $ 1\le k \le 99 $ をみたす正の整数であるとき,以下の間に答えよ.

(1) $ n=1 $ とする.Aさんから上の試行を始めるとき, 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ p_k $ を求めよ.

(2) $ n=2 $ とする.Aさんから上の試行を始めるとき, 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ q_k $ を求めよ.

(3) $ n=3 $ とする.Aさんから上の試行を始めるとき, 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ r_k $ を求めよ.

解答