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神大後期理系4番解答

(1)  $ n=1 $ のとき. $ k\ge 2 $ とする. 試行の総回数が $ k $ となる事象は, $ k-1 $ 回は0を引き, $ k $ 回目に1を引く事象である.よって, \[ p_k=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{k-1}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^k} \] これは $ k=1 $ でも成立する.

(2)  $ n=2 $ のとき. $ k\ge 3 $ とする. 試行の総回数が $ k $ となる事象は, $ k-2 $ 回は0を引き, $ k-1 $ 回目に1か2を引く, このとき $ k $ 回目は2か1を引いて試行が終わる. \[ q_k=\left(\dfrac{1}{3} \right)^{k-2}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{2}{3^{k-1}} \] これは $ k=2 $ でもあてはまるが, 1回で終わることはない. \[ q_k= \left\{ \begin{array}{ll} 0&(k=1)\\ \dfrac{2}{3^{k-1}}&(k \ge 2) \end{array} \right. \]

(3)  $ n=3 $ のとき. $ k\ge 3 $ のとき 最初に0を引くか,0でないものを引くかで場合に分ける. 0でないものを引くとそこで1枚減り, 次も0でないものを引くのでもう1枚減る. つまり2回の試行をおこなって,0ともう1枚が残る. よって, \[ r_k=\dfrac{1}{4}r_{k-1}+\dfrac{3}{4}p_{k-2} \] となる.これから \[ 4^k r_k=4^{k-1}r_{k-1}+3\cdot4^{k-1}\dfrac{1}{2^{k-2}} \] なので, \[ 4^k r_k-4^{k-1}r_{k-1}=12\cdot2^{k-2} \] よって, \[ 4^k r_k=4^3 r_3+\sum_{l=3}^{k-1}12\cdot2^{l-1} \] \[ r_3=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \] なので, \[ 4^k r_k=24+12\cdot 4\cdot\dfrac{2^{k-3}-1}{2-1} =3(2^{k+1}-8) \] これから, \[ r_k=\dfrac{3(2^{k+1}-8)}{4^k}=\dfrac{3}{2^{k-1}}\left(1-\dfrac{1}{2^{k-2}} \right) \] である.


※  $ n $ のとき,試行の総回数が $ k $ となる確率を $ P(n,\ k) $ とおくと, $ n\ge 3 $ , $ k\ge 3 $ のとき, \[ P(n,\ k)=\dfrac{1}{n+1}P(n,\ k-1)+\dfrac{n}{n+1}P(n-2,\ k-2) \] が成り立つ.
本問では「100回で終わる」となっているが,いわゆる「ばば抜き」は一方がなくなるまでやる.つまり, \[ \lim_{k \to \infty}P(n,\ k) \] が, $ n $ 枚のとき,ばばを持っていない方が勝つ確率である.
関連入試問題として,「1995年京大理系5番」がある.

※  本問は,試行が終わる確率を問うている.Aが勝つかBが勝つかとすると,「ばば抜き」になる. そして本問では「100回で終わる」となっているが,いわゆる「ばば抜き」は一方がなくなるまでやる. 関連入試問題として,「95京大後期理系5番」を参照.

問題