2017年入試問題研究に戻るお茶大後期
$n$ を自然数とする．$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n$ を実数とし， 関数 \[ f(x)=a_n\cos nx+a_{n-1}\cos (n-1)x+\cdots+a_1\cos x+a_0 \] を考える．ただし，$\cos nx$ の係数 $a_n$ は正にとるものとする． このとき，絶対値 $|f(x)|$ の最大値が $a_n$ 以上であることを示したい． 次の問いに答えよ．
(1) 3次多項式 $T_3(X)$ を $T_3(X)=4X^3-3X$ とおくと， 恒等式 $\cos3x=T_3(\cos x)$ が成り立つことを示せ． また各自然数 $n$ に対して，恒等式 $\cos nx=T_n(\cos x)$ が成り立つような $X$ の $n$ 次多項式 $T_n(X)$ が存在することを示せ．
(2) 関数 $|f(x)|$ の最大値が $a_n$ より小さいと仮定すると， $a_n\cos(k\pi)-f\left(\dfrac{k}{n}\pi \right)$ の値は， $k$ が偶数であるとき正， $k$ が奇数であるとき負であることを示せ．
(3) (2)の仮定のもとで，方程式 $a_n\cos(nx)-f(x)=0$ は区間 $[0,\ \pi]$ において少なくとも $n$ 個の解を持つことを証明せよ．
(4) 実数 $b_0,\ b_1,\ \cdots,\ b_{n-1}$ によって \[ a_n\cos nx-f(x)=b_{n-1}(\cos x)^{n-1}+b_{n-2}(\cos x)^{n-2}+\cdots+b_1\cos x +b_0 \] と表せることを証明せよ．
(5) 設問(3)，(4)の結論から矛盾が導かれることを示し，$|f(x)|$ の最大値が $a_n$ 以上であることを示せ．