2017年入試問題研究に戻るお茶大後期解答
(1) $\alpha=\cos x+i\sin x$ とおく． \[ \cos nx=\dfrac{\alpha^n+\bar{\alpha}^n}{2} \] これより \begin{eqnarray*} \cos (n+2)x&=&\dfrac{\alpha^{n+2}+\bar{\alpha}^{n+2}}{2}\\ &=&\dfrac{\alpha^{n+1}+\bar{\alpha}^{n+1}}{2}\left(\alpha+\bar{\alpha} \right) -\alpha\bar{\alpha}\dfrac{\alpha^n+\bar{\alpha}^n}{2} \end{eqnarray*} がなりたつ．
各自然数 $n$ に対して，恒等式 $\cos nx=T_n(\cos x)$ が成り立つような $X$ の $n$ 次多項式 $T_n(X)$ で，最高次の係数が $2^{n-1}$ であるものが存在することを $n$ についての数学的帰納法で示す．
$T_1(X)=X$，$T_2(X)=2X^2-1$ である．よって $n=1,\ 2$では成立している．
$n$ と $n+1$ のとき成立するとする． $\alpha+\bar{\alpha}=2\cos x$，$\alpha\bar{\alpha}=1$ なので， \begin{eqnarray*} &&\dfrac{\alpha^{n+1}+\bar{\alpha}^{n+1}}{2}\left(\alpha+\bar{\alpha} \right) -\alpha\bar{\alpha}\dfrac{\alpha^n+\bar{\alpha}^n}{2}\\ &=&2\cos xT_{n+1}(\cos x)-T_n(\cos x) \end{eqnarray*} である．従って，$T_{n+2}(X)$ を \[ T_{n+2}(X)= 2XT_{n+1}(X)-T_n(X) \] で定めれば，$n+2$ のときにも成立し，すべての $n$ で成立する．
\[ T_3(X)=2XT_2(X)-T_1(X)=4X^3-3X \] である．(2) $P=a_n\cos(k\pi)-f\left(\dfrac{k}{n}\pi \right)$ とおく． 仮定から$-a_n < f(x) < a_n$ である．よって， \begin{eqnarray*} k\ 奇数&:&P=-a_n-f\left(\dfrac{k}{n}\pi \right)<-a_n+a_n=0\\ k\ 偶数&:&P=a_n-f\left(\dfrac{k}{n}\pi \right)>a_n-a_n=0 \end{eqnarray*} である．
(3) $F(x)=a_n\cos(n x)-f(x)$ とおく．$f\left(\dfrac{k}{n}\pi\right)=P$ である． また $F(x)$ は連続関数である． (2)および連続関数の中間値の定理によって，$F(x)=0$ となる $x$ が， $k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1$ に対する各区間 $\left[\dfrac{k}{n}\pi,\ \dfrac{k+1}{n}\pi \right]$ に存在する． つまり，方程式 $a_n\cos(nx)-f(x)=0$ は区間 $[0,\ \pi]$ に少なくとも$n$個の解を持つ．
(4) \begin{eqnarray*} a_n\cos nx-f(x)&=&-a_{n-1}\cos (n-1)x-\cdots-a_1\cos x-a_0\\ &=&-a_{n-1}T_{n-1}(\cos x)-\cdots-a_1T_1(\cos x)-a_0 \end{eqnarray*} $T_k(X)$ は $X$ の $k-1$ 次整式であるから， $-a_{n-1}T_{n-1}(X)-\cdots-a_1T_1(X)-a_0$ は $X$ の $n-1$ 次の整式である． これを， $b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+\cdots+b_1X+b_0$ とすれば， \[ a_n\cos nx-f(x)=b_{n-1}(\cos x)^{n-1}+b_{n-2}(\cos x)^{n-2}+\cdots+b_1\cos x +b_0 \] である．
(5) $n-1$ 次方程式 \[ b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+\cdots+b_1X+b_0=0 \] において，$X=\cos x$ とおくと \[ b_{n-1}(\cos x)^{n-1}+b_{n-2}(\cos x)^{n-2}+\cdots+b_1\cos x +b_0=0 \] となる $x$ が区間 $[0,\ \pi]$ に少なくとも $n$ 個存在した． この区間で $x$ と $X$ は一対一に対応している．
従って上記 $n-1$ 次方程式が $n$ 個の解をもつことになり， 因数定理から左辺の $n-1$ 次整式が，少なくとも $n$ 個の因数をもつ． 両辺の次数に矛盾が起こる．これは $-a_n< f(x)< a_n$ との仮定の下に起こった矛盾である．よって，$|f(x)|$ の最大値は $a_n$ 以上である．
※ 本問は， \[ f(x)=a_n\cos nx+a_{n-1}\cos (n-1)x+\cdots+a_1\cos x+a_0 \] を考えるとき，絶対値$|f(x)|$の最大値が$a_n$以上であることを示している．
$X=\cos x$ とおくと，$f(x)$ は $X$ の関数になる． $x$ が実数を動くとき，$X$ は $-1\leqq X \leqq 1$ を動く． これを $F(X)$ とおく． \[ F(X)=a_nT_n(X)+a_{n-1}T_{n-1}(X)+\cdots+a_1X+a_0 \] である．
任意の，$X$ の $n$ 次整式 $F(X)$ は， $T_n(X),\ T_{n-1}(X),\ \cdots,\ T_1(X)$ と定数を用いて， 上記のように表すことができる． これは次数に関する数学的帰納法で明らかである．
このとき，$F(X)$ の $n$ 次の項の係数は， $a_n\cdot 2^{n-1}$ である． したがって，$X$ の $n$ 次式 $F(X)$ の $n$ 次の項の係数が1のときは，$a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$ となり， $F(X)$ は \[ F(X)=\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(X)+a_{n-1}T_{n-1}(X)+\cdots+a_1X+a_0 \] と表せる．つまり，$n$ 次の項の係数が1の $n$ 次式 $F(X)$ の \[ \left[-1\leqq X \leqq 1における|F(X)|の最大値\right] \geqq \dfrac{1}{2^{n-1}} \] となる．
等号は，$F(X)＝T_n(X)$ のときにかぎり成り立つ．
「かぎり」の部分は証明が必要．それについては， 「チェビシェフの多項式の応用」を参照のこと．