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東北大文系3番解答

(1)  $ c=2 $ なので, $ a=3b+2 $ である. よって, $ s $ と $ t $ の方程式は \[ (3b+2)s+3t=6b+5 \] となる.ここで \[ (3b+2)\cdot 1+3\cdot(b+1)=6b+5 \] なので,辺々引いて, \[ (3b+2)(s-1)+3\{t-(b+1)\}=0 \] $ 3b+2 $ と3は互いに素なので, これを満たす $ s $ と $ t $ は,整数 $ k $ を用いて \[ s-1=3k,\ t-(b+1)=-(3b+2)k \] と表される. $ s\geqq 0,\ t\geqq 0 $ となるのは, $ k=0 $ のときにかぎる. よって,求める $ s $ と $ t $ は \[ (s,\ t)=(1,\ b+1) \] である.

(2)  $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s_0,\ t_0 $ が存在すれば, $ n+3=as_0+3(t_0+1) $ なので, $ n+3=as+3t $ となる負でない整数 $ s,\ t $ が存在する.
よって, $ n\geqq 2a-2 $ のとき $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することを示すためには, $ n=2a-2,\ 2a-1,\ 2a $ のときに, $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することを示せばよい.
(1)と同様に求めることで,次のような負でない解が存在する.
$ c=2 $ のとき. $ a=3b+2 $ で \[ 2a-2=6b+2,\ 2a-1=6b+3,\ 2a=6b+4 \] である.方程式は次のようになり,それぞれの負でない解が次のように存在する. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 6b+2=(3b+2)s+3t&6b+3=(3b+2)s+3t&6b+4=(3b+2)s+3t\\ \hline (1,\ b)&(0,\ 2b+1)&(2,\ 0)\\ \hline \end{array} \] $ c=1 $ のとき. $ a=3b+1 $ で \[ 2a-2=6b,\ 2a-1=6b+1,\ 2a=6b+2 \] である.同様に考える. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 6b=(3b+1)s+3t&6b+1=(3b+1)s+3t&6b+2=(3b+1)s+3t\\ \hline (0,\ 2b)&(1,\ b)&(2,\ 0)\\ \hline \end{array} \] よって, $ n\geqq 2a-2 $ のとき, $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することが示された.

問題