2018年入試問題研究に戻る広大理系2番
複素数平面上の4点 $\mathrm{A}(\alpha)$， $\mathrm{B}(\beta)$， $\mathrm{C}(\gamma)$， $\mathrm{D}(\delta)$ を頂点とする四角形 $\mathrm{ABCD}$ を考える． ただし，四角形 $\mathrm{ABCD}$ は，すべての内角が180°より小さい四角形(凸四角形)であるとする． また，四角形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点は反時計回りに $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ の順に 並んでいるとする． 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の外側に，4辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形 $\mathrm{APB}$，$\mathrm{BQC}$，$\mathrm{CRD}$，$\mathrm{DSA}$ を作る． 次の問いに答えよ．
(1) 点 $\mathrm{P}$ を表す複素数を求めよ．
(2) 四角形 $\mathrm{PQRS}$ が平行四辺形であるための必要十分条件は， 四角形 $\mathrm{ABCD}$ がどのような四角形であることか答えよ．
(3) 四角形 $\mathrm{PQRS}$ が平行四辺形であるならば，四角形 $\mathrm{PQRS}$ は正方形であることを示せ．