2018年入試問題研究に戻る広大理系2番解答
(1) 4点 $\mathrm{P,Q,R,S}$ を表す複素数を $z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$ とする．
線分 $\mathrm{PB}$ を $\dfrac{\pi}{2}$ だけ点 $\mathrm{P}$ の周りに回すと 線分 $\mathrm{PA}$ となる．よって \[ \alpha-z_1=i(\beta-z_1) \] これより \[ z_1=\dfrac{\alpha-i\beta}{1-i}=\dfrac{1+i}{2}\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta \](2) (1)と同様に \[ z_2=\dfrac{\beta-i\gamma}{1-i},\ z_3=\dfrac{\gamma-i\delta}{1-i},\ z_4=\dfrac{\delta-i\alpha}{1-i} \] である． 四角形 $\mathrm{PQRS}$ が平行四辺形であるための必要十分条件は $\mathrm{PQ}=\mathrm{SR}$ かつ $\mathrm{PQ}\parallel \mathrm{SR}$， つまり $z_2-z_1=z_3-z_4$ なので， \[ \dfrac{\beta-i\gamma}{1-i}-\dfrac{\alpha-i\beta}{1-i} = \dfrac{\gamma-i\delta}{1-i}-\dfrac{\delta-i\alpha}{1-i} \] これより， \[ \beta-\alpha=\gamma-\delta \] つまり， 四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四角形である．
(3) このとき，$\delta=\alpha-\beta+\gamma$ なので \begin{eqnarray*} z_4-z_1&=&\dfrac{\delta-i\alpha}{1-i}-\dfrac{\alpha-i\beta}{1-i} =\dfrac{-i\alpha-(1-i)\beta+\gamma}{1-i}\\ &=&i\left(\dfrac{-\alpha+(1+i)\beta-i\gamma}{1-i} \right) =i\left(z_2-z_1\right) \end{eqnarray*} つまり，線分 $\mathrm{PQ}$ を $\dfrac{\pi}{2}$ 回転すると線分 $\mathrm{PS} $ になることを示している． 他も同様である． よって，四角形 $\mathrm{PQRS}$ は正方形である．