2018年入試問題研究に戻る福井医大
実数から実数への関数 $f(x)$ は，次の2つの条件を満たす．
● 任童の実数 $x,\ y$ に対して． \[ \left|f(x)-f(y) \right|=|x-y| \]
● $x$ が整数のとき，$f(x)$ も整数
このとき，以下の関いに答えよ．
(1) $f(x)$ はどの値も固定しない，すなわち，任意の実数 $x$ に対して $f(x)$ は $x$ と異なるとき， $f(x)=x+n (n は0以外の整数)$ となることを示せ．
(2) $f(x)$ が1点 $x_0$ のみを固定するとき，すなわち， ただ1つの実数 $x_0$ に対して $f(x_0)=x_0$ となるとき，$x_0$ を $f(0)$ を用いて表せ．
(3) $f(x)$ が2点以上の点を固定するとき，すなわち， 少なくとも2つの実数$x_1\,\ x_2 (x_1\ne x_2)$ に対して $f(x_1)=x_1$ かつ $f(x_2)=x_2$ となるとき， 任意の実数 $x$ に対して $f(x)=x$ となることを示せ．