2018年入試問題研究に戻る福井医大解答
(1) どの値も固定しないので，$f(0)\ne 0$ である．$n=f(0)$ とおく．これは整数である． \[ \left|f(x)-f(0) \right|=|x| \] より，各 $x$ について $f(x)=x+n$，または $f(x)=-x+n$ がなりたつ．ここで， $f(x_1)=x_1+n$，$f(x_2)=-x_2+n$ となる $x_1,\ x_2$ が存在するとする． このとき， \[ f(x_1)-f(x_2)=x_1+x_2 \] である．一方 \[ f(x_1)-f(x_2)=x_1-x_2,\ または\ -x_1+x_2 \] である．よって，$x_2=0$ か，または $x_1=0$ である．
従って，$x\ne 0$ であるすべての $x$ について，$f(x)=x+n$ となるか，または $f(x)=-x+n$ となる． $x=0$ はいずれでもなりたつ．
すべての $x$ について $f(x)=-x+n$ となるときは， \[ f\left(\dfrac{n}{2} \right)=-\dfrac{n}{2}+n=\dfrac{n}{2} \] となり，$x=\dfrac{n}{2}$ が固定される． したがって，$f(x)$ がどの値も固定しないとき， $f(x)=x+n\ (n\ は0以外の整数)$ となる．(2) 固定する点が存在するので，(1)の結果以外の場合である．つまり， $f(0)=0$，または，$f(0)\ne 0$ ですべての $x$ について $f(x)=-x+n$ となるか，である． $f(x)=x+f(0)$ で $f(0)=0$ なら，すべての点が固定される． $f(x)=-x+f(0)$ のときは，(1)と同様に考え，$f(0)=0$ の場合を含めて固定点は $x=\dfrac{1}{2}f(0)$ の1つである． つまり，$x_0=\dfrac{1}{2}f(0)$ である．
(3) 2個以上の固定点が存在するのは，(1)，(2)の結果以外である． それは，$f(x)=x+f(0)$ で $f(0)=0$，つまり任意の実数 $x$ に対して $f(x)=x$ となるときである．