2018年入試問題研究に戻る慈恵医大3番解答
(1) $ f_n(x) $ はある整式 $ Q_n(x) $ を用いて \[ f_n(x)=x^2Q_n(x)+a_nx+b_n \] と表される．これから \[ {f_n}'(x)=2xQ_n(x)+x^2Q'(x)+a_n \] よって， \[ f_n(0)=b_n,\ {f_n}'(0)=a_n \] である．一方，漸化式から \[ b_n=f_n(0)=f_1(f_{n-1}(0))={b_{n-1}}^2+b_{n-1}-\dfrac{1}{4} \] である．これから \[ b_n+\dfrac{1}{2}=\left(b_{n-1}+\dfrac{1}{2} \right)^2 \] よって， $ b_1=-\dfrac{1}{4} $ なので， \[ b_n+\dfrac{1}{2}=\left(b_1+\dfrac{1}{2} \right)^{2^{n-1}} =\left(\dfrac{1}{4} \right)^{2^{n-1}}=2^{-2^n} \] よってまた， \[ b_2=\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{16} \] である．次に， \[ {f_n}'(x)={f_1}'(f_{n-1}(x)){f_{n-1}}'(x) \] で， $ {f_1}'(x)=2x+1 $ なので， \begin{eqnarray*} a_n&=&{f_n}'(0)={f_1}'(f_{n-1}(0)){f_{n-1}}'(0)\\ &=&(2b_{n-1}+1)a_{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \cdots (*) \end{eqnarray*} が成り立つ．これより， \[ a_2=(2b_1+1)a_1=\dfrac{1}{2} \] である．
(2) (1)から $ b_n=2^{-2^n}-\dfrac{1}{2} $ なので， $ 2b_n+1=2^{1-2^n} $ である．よって， $ (*) $ から， \[ a_n=2^{1-2^{n-1}}a_{n-1} \] である． $ a_1=1 $ なので， \begin{eqnarray*} a_n=\dfrac{a_n}{a_1}&=&\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cdots \cdot\dfrac{a_2}{a_1}\\ &=&2^{1-2^{n-1}}\cdot2^{1-2^{n-2}}\cdot \cdots \cdot2^{1-2^1}\\ &=&2^{n-1-2\cdot \frac{2^{n-1}-1}{2-1}}=2^{-2^n+n+1} \end{eqnarray*} $ n $ が大きいとき， \[ 2^n=(1+1)^n=1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}+\cdots \] より， \[ -2^n+n+1=-\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+\cdots \right\} \] この結果， \[ \lim_{n \to \infty}(-2^n+n+1)=-\infty \] となるので， \[ \lim_{n \to \infty}a_n=0 \] である．