2018年入試問題研究に戻る京大理系4番解答
$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおく． $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$ であり， $\omega^3=1$ より $\omega^2=\dfrac{1}{\omega}=\bar{\omega}$ である． よって， $z_n$ のとりうる値は $1,\ \omega,\ \omega^2$ のいずれかである． \[ p_n=P(z_n=1),\ q_n=P(z_n=\omega),\ r_n=P(z_n=\omega^2) \] とおく． $p_n$ が求める確率である． $p_n+q_n+r_n=1$ で，試行の条件から \[ \begin{array}{l} p_1=q_1=\dfrac{1}{2},\ r_1=0\\ p_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{2}r_n\\ q_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{2}r_n\\ r_{n+1}=q_n \end{array} \] がなりたつ．初期条件と漸化式からすべての $n$ で $p_n=q_n$である． よって， \[ p_{n+1}=\dfrac{1}{2}q_n+\dfrac{1}{2}r_n=\dfrac{1}{2}(1-p_n) \] これより， \[ p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right) \] よって， \[ p_n-\dfrac{1}{3}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_1-\dfrac{1}{3}\right) =-\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n \] つまり \[ p_n=\dfrac{1}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right\} \]