2018年入試問題研究に戻る慶応医2
$k$ を2以上の自然数とする．2つの袋A，Bがあり，袋Aには番号1から$k$までか書かれたカードが1枚ずつ（計 $k$ 枚）入っていていて，袋Bには番号0から番号2までか書かれたカードが1枚ずつ（計3枚）入っているとする． この状態から始めて，以下の操作Tを繰り返し行う．
操作T
(T1) それぞれの袋の中から無作為にカードを1枚ずつ取り出す．
(T2)(i) 取り出した2枚のカードの番号が同じ場合は，取り出したカードを2枚とも袋Aにいれる．
(ii) 取り出した2枚のカードの番号が異なる場合は，取り出した2枚のカードそれぞれをもとの袋に戻す．
以下，$n$ 自然数とする．操作Tを $n$ 回繰り返し終えたとき，袋Bの中にカードが3枚入っている確率を $a_n(k) $， ちょうど2枚入っている確率を $b_n(k)$ とする．
(1) $a_n(k)$ を求めよ．極限値 $\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k(k)$ を求めよ．
(2) $b_n(3)$を求めよ．