2018年入試問題研究に戻る慶応医2解答
(1) 操作Tを $ n+1 $ 回繰り返し終えたときに袋Bの中にカードが3枚入っているのは， 操作Tを $ n $ 回繰り返し終えたときに袋Bの中にカードが3枚入っている状態において， Bから0を取り出すか，Bから1か2をを取り出しAからそれ以外を取り出すときである．よって， \[ a_{n+1}(k)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{k-1}{k} \right)a_n(k)=\dfrac{3k-2}{3k}a_n(k) \] $ a_0(k)=1 $ より， \[ a_n(k)=\left(\dfrac{3k-2}{3k} \right)^n \] \begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}a_k(k)&=& \lim_{k \to \infty}\left(\dfrac{3k-2}{3k} \right)^k\\ &=&\lim_{k \to \infty}\left\{\left(1-\dfrac{2}{3k} \right)^{-\frac{3k}{2}}\right\}^{-\frac{2}{3}} =e^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}
(2) 操作Tを $ n+1 $ 回繰り返し終えたときに袋Bの中にカードが2枚入っているのは， 操作Tを $ n $ 回繰り返し終えたときに袋Bの中にカードが3枚入っている状態において， Bから1か2をを取り出しAから同じ番号を取り出すとき，または， 操作Tを $ n $ 回繰り返し終えたときに袋Bの中にカードが2枚入っている状態において， Bから0を取り出すか，Bから0以外を取り出し $ k+1 $ 枚あるAのカードからそれとは異なる番号を取り出すときである． よって， \[ b_{n+1}(k) =\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{k}a_n(k)+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{k}{k+1}b_n(k) =\dfrac{2}{3k}a_n(k)+\dfrac{2k+1}{2(k+1)}b_n(k) \] となる． $ k=3 $ のとき， $ a_n(3)=\left(\dfrac{7}{9} \right)^n $ なので， \[ b_{n+1}(3)=\dfrac{2}{9}a_n(3)+\dfrac{7}{8}b_n(3)=\dfrac{2}{9}\left(\dfrac{7}{9} \right)^n+\dfrac{7}{8}b_n(3) \] よって， \[ \left(\dfrac{8}{7} \right)^{n+1}b_{n+1}(3)-\left(\dfrac{8}{7} \right)^nb_n(3)= \dfrac{16}{9\cdot 7}\left(\dfrac{8}{9} \right)^n \] と，数列 $ \left(\dfrac{8}{7} \right)^nb_n(3) $ の階差数列が得られる． $ b_0(k)=0 $ であるから，この結果， \begin{eqnarray*} \left(\dfrac{8}{7} \right)^nb_n(3)&=&\sum_{j=0}^{n-1}\dfrac{16}{9\cdot 7}\left(\dfrac{8}{9} \right)^j\\ &=&\dfrac{16}{9\cdot 7}\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n}{1-\dfrac{8}{9}} \end{eqnarray*} したがって， \[ b_n(3)=\left(\dfrac{7}{8}\right)^n\cdot\dfrac{16}{7}\left\{1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n\right\} =16\cdot7^{n-1}\left(\dfrac{1}{8^n}-\dfrac{1}{9^n}\right) \]