2018年入試問題研究に戻る九大理系4番解答
(1) \[ a\equiv \pm 1\quad (\bmod \ 3),\ \quad b\equiv \pm 1\quad (\bmod \ 3) \] なので， \begin{eqnarray*} f(1)&=&2+a^2+2b^2+1\equiv 0\quad (\bmod \ 3)\\ f(2)&=&16+4a^2+4b^2+1\equiv 1+4+4+1\equiv 1 \quad (\bmod \ 3) \end{eqnarray*} $f(1)$ と $f(2)$ を3で割った余りはそれぞれ0と1である．
(2) 整数 $\alpha$ が $f(\alpha)=0$ を満たすと仮定する． これより， \[ \alpha(2\alpha^2+a^2\alpha+2b^2)=-1 \] となり，$\alpha=\pm1$ である．$\alpha=-1$ のとき， \[ f(-1)\equiv f(2)\equiv 1\quad (\bmod \ 3) \] また， \[ f(1)=2+a^2+2b^2+1 \geqq 3 \ne 0 \] なので，いずれも $f(\alpha)=0$ と矛盾する． よって，$f(x)=0$ を満たす整数$x$は存在しない．
(3) $x\geqq 0$ のとき $f(x)\geqq 1$ となるので，$f(x)=0$ の実数解は負である． 有理数 $x=-\dfrac{q}{p} (p,\ q\ は互いに素な正の整数)$ が解であるとする． \[ f\left(-\dfrac{q}{p} \right) =\dfrac{-2q^3}{p^3}+\dfrac{a^2q^2}{p^2}-\dfrac{2b^2q}{p}+1=0 \] これより \[ \dfrac{-2q^3}{p}+a^2q^2-2b^2pq+p^2=0 \] となり， $\dfrac{-2q^3}{p}$ が整数である．よって $p=2$ が必要である． このとき， \[ -q^3+a^2q^2-4b^2q+4=0 \] これより $q$ は4の約数となる．ところが $p=2$ と $q$ は互いに素なので， $q=1$ である．この結果 \[ -1+a^2-4b^2+4=0 \] これから \[ (2b+a)(2b-a)=3 \] となり \[ (2b+a,\ 2b-a)=(3,\ 1),\ (-3,\ -1),\ (1,\ 3),\ (-1,\ -3) \] よって $f(x)=0$ を満たす有理数 $x$ が存在するような組 $(a,\ b)$ は \[ (1,\ 1),\ (-1,\ -1),\ (1,\ -1),\ (-1,\ 1) \] となる．いずれも3の倍数ではない．