2018年入試問題研究に戻る東大理科第5問
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を $ C $ とする．点 $ \mathrm{P}(z) $ は $ C $ 上にあり， 点 $ \mathrm{A}(1) $ とは異なるとする．点 $ \mathrm{P}$ における円 $ C $ の接線に関して， 点 $\mathrm{A}$ と対称な点を $ \mathrm{Q}(u) $ とする． $ w=\dfrac{1}{1-u} $ とおき， $ w $ と共役な複素数を $ \bar{w} $ で表す．
(1) $ u $ と $ \dfrac{\bar{w}}{w} $ を $ z $ についての整式として表し， 絶対値の商 $ \dfrac{|w+\bar{w}-1|}{|w|} $ を求めよ．
(2) $ C $ のうち実部が $ \dfrac{1}{2} $ 以下の複素数で表される部分を $ C' $ とする． 点 $ \mathrm{P}(z) $ が $ C' $ 上を動くときの点 $ \mathrm{R}(w) $ の軌跡を求めよ．