東北大理系2番解答
(1) 2つの放物線の方程式を連立して \[ (x-a)^2+b=-x^2 \] これから \[ 2x^2-2ax+a^2+b=0 \] が異なる2つの実数解をもち，その解の差が1となる． その判別式を $ D $ とすると， \[ D/4=a^2-2a^2-2b=-a^2-2b >0 \] このとき，2解を $ \alpha $ と $ \beta $ とすると，解と係数の関係と，条件 $ |\beta-\alpha|=1 $ から \[ (\beta-\alpha)^2=(\beta+\alpha)^2-4\alpha\beta=a^2-2(a^2+b)=-a^2-2b=1 \] この $ a $ と $ b $ は $ D >0 $ を満たす．頂点 $ (a,\ b) $ の軌跡は図左．
(2) $ C $ と $ D $ の2つの交点は $ (\alpha,\ -\alpha^2) $ ， $ (\beta,\ -\beta^2) $ であるから， 2交点を結ぶ直線の方程式は \[ y=\dfrac{-\beta^2+\alpha^2}{\beta-\alpha}(x-\alpha)-\alpha^2=-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta \] である．解と係数の関係を用いて，この係数を $ a $ と $ b $ で表すと， \[ y=-ax+\dfrac{a^2+b}{2} \] ここで， $ b=-\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{1}{2} $ なので， \[ y=-ax+\dfrac{a^2}{4}-\dfrac{1}{4} \] である． $ a $ はすべての実数を動きうるので，点 $ (x,\ y) $ がこの直線の通過する領域の点である条件は， $ a $ の2次方程式を見たとき， $ a $ が実数となることと同値である． \[ a^2-4xa-4y-1=0 \] と変形されるので，その条件は判別式から \[ 4x^2+4y+1\geqq 0 \] である．この領域は図右．
