2018年入試問題研究に戻る東北大理系2番解答
(1) $ a=1 $ なら，1回の試行で $ n $ を取り出す場合のみ．
$ a=n $ なら， $ n-1 $ 回の試行ですべて1を取り出し $ n $ 回目はいずれでもよい場合である．
よって， \begin{eqnarray*} p(1)&=&\dfrac{1}{n}\\ p(n)&=&\left(\dfrac{1}{n} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}(2) $ a=2 $ のときは，1回目に取り出す番号を $ k $ とすると， $ 1\leqq k \leqq n-1 $ が必要で， 2回目に取り出す番号 $ j $ は $ n-k\leqq j \leqq n $ の範囲にある場合である． $ j $ は， $ n-(n-k)+1=k+1 $ 通りある．よって， \[ p(2)=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k+1}{n^2}=\dfrac{(n+2)(n-1)}{n^2} \]
(3) $ a=3 $ のときは，2回目までの和が2以上 $ n-1 $ 以下で，3回目にそれに加えて以上となる場合である． 2回目までの和を $ k $ とおく．この場合，1回目に $ 1,\ \cdots,\ k-1 $ のいずれかが出て，2回目は和が $ k $ となる1通りなので， 1，2回の出方は $ k-1 $ 通りある．そして3回目は(2)と同様に $ k+1 $ 通りである．よって， \begin{eqnarray*} p(3)&=&\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{(k-1)(k+1)}{n^3}= \dfrac{1}{n^3}\sum_{k=2}^{n-1}\left\{k(k+1)-(k+1) \right\}\\ &=&\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=2}^{n-1}\left\{\dfrac{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}{3}-(k+1) \right\}\\ &=&\dfrac{1}{n^3}\left\{\dfrac{(n-1)n(n+1)-1\cdot2\cdot3}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}+3 \right\} =\dfrac{(2n+3)(n-1)(n-2)}{6n^3} \end{eqnarray*}