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東北大理系4番解答

(1)　 $ \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2} $ である． したがって $ \sin(\alpha+\beta)=\cos\gamma $ などが成りたつ． 正弦定理から3辺の長さは \[ \mathrm{BC}=2R\sin 2\alpha,\ \mathrm{CA}=2R\sin 2\beta,\ \mathrm{AB}=2R\sin 2\gamma \] である． $ \bigtriangleup \mathrm{ABC} $ の面積を2通りの方法で求める． \begin{eqnarray*} S&=&\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\\ &=&2R^2\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma =16R^2\sin \alpha\sin \beta\sin \gamma\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma \end{eqnarray*} 一方， $ \bigtriangleup \mathrm{ABC} $ を，内心を頂点とし各辺を1辺とする3つの三角形に分割することにより， \begin{eqnarray*} S&=&\dfrac{r}{2}\cdot\mathrm{BC}+\dfrac{r}{2}\cdot\mathrm{CA}+\dfrac{r}{2}\cdot\mathrm{AB}\\ &=&Rr(\sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma)=2Rr\{\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin\gamma\cos\gamma\}\\ &=&2Rr\cos\gamma\{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\} =4Rr\cos\gamma\cos\alpha\cos\beta \end{eqnarray*} よって \[ 16R^2\sin \alpha\sin \beta\sin \gamma\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma =4Rr\cos\gamma\cos\alpha\cos\beta \] $ 0< \alpha,\ \beta,\ \gamma< \dfrac{\pi}{2} $ なので， $ \cos \alpha\cos \beta\cos \gamma\ne 0 $ である． ゆえに， \[ h=\dfrac{r}{R}=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \] となる．

(2)　 $ 2\gamma=\dfrac{\pi}{2} $ とする．このとき， \begin{eqnarray*} h&=&2\sqrt{2}\sin\alpha\sin\beta\\ &=&\sqrt{2}\left\{-\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right\} =\sqrt{2}\left\{-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cos(\alpha-\beta)\right\}\\ &\leqq&\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1\right)=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*} 等号は， $ \cos(\alpha-\beta)=1 $ より $ \alpha=\beta $ ， つまり直角二等辺三角形のとき成立する．

(3)　 \begin{eqnarray*} h&=&4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma =2\left\{-\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}\sin\gamma\\ &=&2\left\{-\sin\gamma+\cos(\alpha-\beta)\right\}\sin\gamma\\ &=&-2\left\{\sin\gamma-\dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{2}\right\}^2 +\dfrac{\cos^2(\alpha-\beta)}{2} \leqq\dfrac{\cos^2(\alpha-\beta)}{2}\leqq\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*} である．等号は \[ \sin\gamma-\dfrac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)=0,\ かつ\ \cos^2(\alpha-\beta)=1 \] つまり \[ \alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{6} \] より， $ \bigtriangleup \mathrm{ABC} $ が正三角形のとき成立する．

問題

同じ内容の問題が 2006年京大後期理系4番である．