2018年入試問題研究に戻る富山大後期解答
(1) $\alpha$が有理数であると仮定し，$\alpha=\dfrac{a}{b}$とおく．
解法1 $a$ と $b$ は互いに素であるとする． $\dfrac{a^3}{b^3}=3 $ で， $a^3$ と $b^3$ は互いに素である．一方，右辺は整数なので，$b^3=1$． つまり $\alpha$ は整数である．ところが $1^3=1,\ 2^3=8$ なので，$a^2=3$ となる整数 $a$ の存在はこれと矛盾する． よって，$\alpha$ は有理数ではない．
解法2 $ a^3=3b^3 $ であるが， 左辺の素因数分解にある素因数3の個数は3の倍数個である． 右辺の素因数分解にある素因数3の個数は（3の倍数+1)個である． これは矛盾である．よって，$\alpha$ は有理数ではない．
解法3 $a$ と $b$ は互いに素であるとする． $ a^3=3b^3 $ より， $a$ は3の倍数である．$a=3a'$ とおく．これから $ 9{a'}^3=b^3 $ となり，$b$ も3の倍数である．これは $a$ と $b$ が互いに素であることと矛盾する． よって，$\alpha$ は有理数ではない．
(2) \[ x^3-3=(x^2+px+q)(x-p)+(p^2-q)x+pq-3 \] より， \[ A(x)=x-p,\ \quad B(x)=(p^2-q)x+pq-3 \] である．
(3) $\alpha^2+p\alpha+q=0$ を満たす有理数 $p,\ q$ が存在するとする． このとき，(2)から， \begin{eqnarray*} 0&=&\alpha^3-3\\ &=&(\alpha^2+p\alpha+q)(\alpha-p)+(p^2-q)\alpha+pq-3\\ &=&(p^2-q)\alpha+pq-3 \end{eqnarray*} ここで，$p^2-q=0$ なら $pq-3=0$ となるが，これから $p^3=3$ となる． (1)の論証での$\alpha$ を $p$ におきかえると，$p$ は有理数でない． よって，$p$ が有理数なら $p^2-q\ne 0$ であり，これより \[ \alpha=-\dfrac{pq-3}{p^2-q} \] となる．右辺は有理数なので，$\alpha$ が有理数でないことと矛盾した． よって，$\alpha^2+p\alpha+q=0$ を満たす有理数 $p,\ q$ は存在しない．