2018年入試問題研究に戻る横国大後期解答
(1) \begin{eqnarray*} x^3+y^3+z^3-3xyz&=&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ &=&(x+y+z)\cdot\dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2} \end{eqnarray*} と因数分解される． $x,\ y,\ z$ が実数なので，$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geqq 0$． よって，$x^3+y^3+z^3-3xyz >0$ ならば，$x+y+z >0$ である．
(2) $x^3+y^3+z^3-3xyz=25$ のとき(1)から \[ (x+y+z,\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(1,\ 25),\ (5,\ 5),\ (25,\ 1) \] である． \[ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx= (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \] なので，それぞれのとき， \[ (x+y+z,\ 3(xy+yz+zx))=(1,\ -24),\ (5,\ 20),\ (25,\ 25^2-1) \] である．$x,\ y,\ z$ が整数なので，$(5,\ 20)$ は不適である．
i) $(x+y+z,\ 3(xy+yz+zx))=(1,\ -24)$ のとき． $xy+yz+zx=-8$ なので，$xyz=k$ とおくと，$x,\ y,\ z$ は3次方程式 $ f(t)=t^3-t^2-8t+k=0 $ の3解である． \[ f'(t)=3t^2-2t-8=(3t+4)(t-2) \] なので，$f(t)$ は $t=-\dfrac{4}{3},\ 2$ で極である． $x\leqq y \leqq z$ のとき，$y$ は極をとる $t$ の値にはさまれていなければならない． よって，$-\dfrac{4}{3}\leqq y \leqq 2$ が必要であり，整数なので $y=-1,\ 0,\ 1,\ 2$ が必要である． このとき， \[ (y,\ x+z,\ xz)=(-1,\ 2,\ -6),\ (0,\ 1,\ -8),\ (1,\ 0,\ -8),\ (2,\ -1,\ -6) \] となるが， このうち整数の $x$ と $z$ が存在するのは，第4の場合のみで$x=-3,\ z=2$ である．
ii) $(x+y+z,\ 3(xy+yz+zx))=(25,\ 25^2-1)$ のとき． $xy+yz+zx=208$ なので， $xyz=k$ とおくと，$x,\ y,\ z$ は3次方程式 $ f(t)=t^3-25t^2+208t+k=0 $ の3解である． \[ f'(t)=3t^2-50t+208=(3t-26)(t-8) \] なので，$f(t)$ は $t=\dfrac{26}{3},\ 8$ で極である． 同様に，$8 \leqq y \leqq \dfrac{26}{3}$ が必要であり，整数なので $y=8$ が必要である． このとき， \[ (y,\ x+z,\ xz)=(8,\ 17,\ 72) \] となり，$x=8,\ z=9$ が存在する． \[ (x,\ y,\ z)=(-3,\ 2,\ 2),\ (8,\ 8,\ 9) \]