2019年入試問題研究に戻る千葉大後期理，医
以下の問いに答えよ．
(1) $ \alpha $ ， $ \beta $ を異なる2つの正の数とする．このとき，定数 $ A $ ， $ B $ を用いて，すべての3次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)\,dx=A\left(f\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(f\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) +B\left(f\left(\sqrt{\beta}\right)\right)+B\left(f\left(-\sqrt{\beta}\right)\right) \] と表せることを示し， $ A $ ， $ B $ を $ \alpha $ ， $ \beta $ を用いて表示せよ.
(2) $ x^4 $ の係数が1であるような4次の整式 $ g(x) $ であって， すべての3次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx=0 \] となるものを求めよ.
(3) $ g(x) $ は(2)で求めた4次の整式とする．方程式 $ g(x)=0 $ は互いに異なる4つの実数解をもつことを示せ．
(4) 定数 $ A $ ， $ B $ と正の定数 $ \alpha $ ， $ \beta $ を用いて，すべての7次以下の整式 $ h(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1h(x)\,dx=A\left(h\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(h\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) +B\left(h\left(\sqrt{\beta}\right)\right)+B\left(h\left(-\sqrt{\beta}\right)\right) \] と表せることを示せ．