2019年入試問題研究に戻る千葉大後期理，医解答
(1) $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $ とおく．このとき \[ \int_{-1}^1f(x)\,dx=2\int_0^1\left(bx^2+d \right)\,dx=\dfrac{2}{3}b+2d \] 一方， \[ f\left(\sqrt{\alpha}\right)+f\left(-\sqrt{\alpha}\right)=2b\alpha+2d ， f\left(\sqrt{\beta}\right)+f\left(-\sqrt{\beta}\right)=2b\beta+2d \] なので， \[ A\left(2b\alpha+2d \right)+ B\left(2b\beta+2d \right)=\dfrac{2}{3}b+2d \] がすべての $ b $ と $ d $ について成りたつように $ A $ と $ B $ を定めればよい． $ b $ と $ d $ の恒等式となることなので，係数がそれぞれ一致すればよい． \[ \begin{array}{l} 2\alpha A+2\beta B=\dfrac{2}{3}\\ 2A+2B=2 \end{array} \] これを $ A $ と $ B $ について解いて， \[ A=\dfrac{3\beta-1}{3(\beta-\alpha)},\ B=\dfrac{1-3\alpha}{3(\beta-\alpha)} \]
(2) すべての3次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx=0 \] となるためには \[ \int_{-1}^1x^ng(x)\,dx=0 \] が $ n=3,\ 2,\ 1,\ 0 $ について成りたてばよい． $ g(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s $ とおく． \begin{eqnarray*} \int_{-1}^1x^3g(x)\,dx&=&\dfrac{2}{7}p+\dfrac{2}{5}r=0\\ \int_{-1}^1x^2g(x)\,dx&=&\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{5}q+\dfrac{2}{3}s=0\\ \int_{-1}^1xg(x)\,dx&=&\dfrac{2}{5}p+\dfrac{2}{3}r=0\\ \int_{-1}^1g(x)\,dx&=&\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}q+2s=0 \end{eqnarray*} この連立一次方程式を解いて \[ p=r=0,\ q=-\dfrac{6}{7},\ s=\dfrac{3}{35} \] つまり， \[ g(x)=x^4-\dfrac{6}{7}x^2+\dfrac{3}{35} \]
(3) $ g(x) $ で $ x^2=t $ とおくと， $ t^2-\dfrac{6}{7}t+\dfrac{3}{35} $ となる．この $ t $ の2次式の判別式を $ D $ とすると \[ D=\dfrac{36}{49}-\dfrac{12}{35}>0 \] である．よって，2次方程式 $ t^2-\dfrac{6}{7}t+\dfrac{3}{35}=0 $ は異なる2次数解 $ \alpha $ ， $ \beta $ をもち， 解と係数の関係からその和が $ \dfrac{6}{7}>0 $ ，積が $ \dfrac{3}{35}>0 $ であるから， $ \alpha $ も $ \beta $ も正の実数である．
したがって4次方程式 $ g(x)=0 $ は4つの実数解 \[ \pm\sqrt{\alpha} \pm\sqrt{\beta} \] をもつ．(4) $ h(x) $ を $ g(x) $ で割った商を $ Q(x) $ ，余りを $ R(x) $ とする． \[ h(x)=Q(x)g(x)+R(x) \] (3)より， $ \displaystyle \int_{-1}^1Q(x)g(x)\,dx=0 $ なので \[ \int_{-1}^1h(x)\,dx=\int_{-1}^1R(x)\,dx \] である． $ \pm\sqrt{\alpha},\ \pm\sqrt{\beta} $ に対して，(1)のように $ A $ ， $ B $ を定めれば， \[ \int_{-1}^1R(x)\,dx=A\left(R\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(R\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) +B\left(R\left(\sqrt{\beta}\right)\right)+B\left(R\left(-\sqrt{\beta}\right)\right) \] となる． $ g(\pm\sqrt{\alpha})=0 $ ， $ g(\pm\sqrt{\beta})=0 $ なので， \[ h(\pm\sqrt{\alpha})=R(\pm\sqrt{\alpha}) h(\pm\sqrt{\beta})=R(\pm\sqrt{\beta}) \] が成りたつ．よって， 定数 $ A $ ， $ B $ と正の定数 $ \alpha $ ， $ \beta $ をこのように定めれば \[ \int_{-1}^1h(x)\,dx=A\left(h\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(h\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) +B\left(h\left(\sqrt{\beta}\right)\right)+B\left(h\left(-\sqrt{\beta}\right)\right) \] が成りたつ．
※ 本問を次のように一般化することはできるのか．
(1) $ \alpha_j\ (1\leqq j \leqq n) $ を異なる $ n $ 個の正の数とする． このとき，定数 $ A_j\ (1\leqq j \leqq n) $ を用いて，すべての $ 2n-1 $ 次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)\,dx= \sum_{j=1}^{n}\left\{A_j\left(f\left(\sqrt{\alpha_j}\right)\right)+A_j\left(f\left(-\sqrt{\alpha_j}\right)\right)\right\} \] と表せることを示し， $ A_j\ (1\leqq j \leqq n) $ を $ \alpha_j\ (1\leqq j \leqq n) $ を用いて表示せよ.
(2) $ x^{2n} $ の係数が1であるような $ 2n $ 次の整式 $ g(x) $ であって， すべての $ 2n-1 $ 次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx=0 \] となるものを求めよ.
(3) $ g(x) $ は(2)で求めた $ 2n $ 次の整式とする． 方程式 $ g(x)=0 $ は互いに異なる $ 2n $ 個の実数解をもつことを示せ．
(4) 定数 $ A_j\ (1\leqq j \leqq n) $ と正の定数 $ \alpha_j\ (1\le j \le n) $ を用いて，すべての $ 4n-1 $ 次以下の整式 $ h(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1h(x)\,dx= \sum_{j=1}^{n}\left\{A_j\left(h\left(\sqrt{\alpha_j}\right)\right)+A_j\left(h\left(-\sqrt{\alpha_j}\right)\right)\right\} \] と表せることを示せ．
※ $ n=1 $ のときは成りたつ．
(1) $ \alpha $ を正の数とする． このとき，定数 $ A $ を用いて，すべての $ 1 $ 次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)\,dx= A\left(f\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(f\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) \] と表せることを示し， $ A $ を $ \alpha $ を用いて表示せよ.
$ A=1 $ である．(2) $ x^{2} $ の係数が1であるような $ 2 $ 次の整式 $ g(x) $ であって， すべての $ 1 $ 次以下の整式 $ f(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx=0 \] となるものを求めよ.
$ g(x)=x^2-\dfrac{1}{3} $ である．(3) $ g(x) $ は(2)で求めた $ 2 $ 次の整式とする． 方程式 $ g(x)=0 $ は互いに異なる $ 2 $ 個の実数解をもつことを示せ．
$ \pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} $ である．(4) 定数 $ A $ と正の定数 $ \alpha $ を用いて，すべての $ 3 $ 次以下の整式 $ h(x) $ に対して \[ \int_{-1}^1h(x)\,dx= A\left(h\left(\sqrt{\alpha}\right)\right)+A\left(h\left(-\sqrt{\alpha}\right)\right) \] と表せることを示せ．
$ A=1 $ ， $ \alpha=\dfrac{1}{3} $ である．※ 一般の場合は課題である．