2019年入試問題研究に戻る中央大理工
以下の問いに答えよ． 実数を係数とする $ n $ 次多項式 $ P(x) $ が， $ x=0,\ 2,\ 4,\ \cdots,\ 2n $ で整数値 $ a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n $ をとると仮定する． また， $ Q_0(x)=1 $ ， $ Q_1(x)=\dfrac{x}{2} $ ， $ Q_2(x)=\dfrac{x(x-2)}{2\cdot 4} $ ，とし，一般に \[ Q_n(x)=\dfrac{x(x-2)(x-4)\cdots(x-2n+2)}{n!\cdot 2^n} \] とする．以下の問いに答えよ．
(1) $ x $ が偶数のとき， $ Q_0(x),\ Q_1(x),\ \cdots,\ Q_n(x) $ は整数であることを示せ.
(2) $ n=3 $ の場合に，多項式 \[ Q(x)= b_0Q_0(x)+ b_1Q_1(x)+ b_2Q_2(x)+ b_3Q_3(x) \] が $ x=0,\ 2,\ 4,\ 6 $ において $ Q(x)=P(x) $ を満たすように， 定数 $ b_0,\ b_1,\ b_2,\ b_3 $ を定めよ． 上の(2)において， $ P(x)-Q(x) $ に因数定理を適用すると， $ P(x) $ が $ Q(x) $ に一致することがわかる． 以下では， $ n $ を一般の自然数とする．
(3) $ x $ が偶数のとき， $ P(x) $ は整数であることを示せ.
(4) $ x $ が奇数のとき， $ P(x)\ne 0 $ ならば \[ \left|P(x) \right|\geqq \dfrac{1}{n!\cdot 2^n} \] が成り立つことを示せ．