2019年入試問題研究に戻る中央大理工解答
(1) $ n $ を自然数とする． $ m $ を整数として $ x=2m $ とおく． $ m\geqq n $ のとき， \begin{eqnarray*} Q_n(2m)&=&\dfrac{2m(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2n+2)}{n!\cdot 2^n}\\ &=&\dfrac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)}{n!}={}_m \mathrm{C}_n \end{eqnarray*} $ 0 \leqq m< n $ のとき， $ x,\ x-2,\ \cdots,\ x-2n+2 $ の何れかが0になるので， $ Q_n(2m)=0 $ である．
$ m< 0 $ のとき， \[ Q_n(2m)=(-1)^n\dfrac{(n-1-m)(n-2-m)\cdots(-m)}{n!}=(-1)^n{}_{n-1-m}\mathrm{C}_n \] となる．以上から $ x $ が偶数のとき， $ Q_n(x) $ は整数である.(2) 条件を満たすのは \begin{eqnarray*} Q(0)&=&b_0Q_0(x)=b_0=a_0\\ Q(2)&=&b_0+b_1\cdot{}_1 \mathrm{C}_1=b_0+b_1=a_1\\ Q(4)&=&b_0+b_1\cdot{}_2 \mathrm{C}_1+b_2\cdot{}_2 \mathrm{C}_2=b_0+2b_1+b_2=a_2\\ Q(6)&=&b_0+b_1\cdot{}_3 \mathrm{C}_1+b_2\cdot{}_3 \mathrm{C}_2+b_3\cdot{}_3 \mathrm{C}_3=b_0+3b_1+3b_2+b_3=a_3 \end{eqnarray*} となるときである．これより， \[ \begin{array}{l} b_0=a_0,\ b_1=a_1-a_0\\ b_2=a_2-a_0-2(a_1-a_0)=a_2-2a_1+a_0\\ b_3=a_3-a_0-3(a_1-a_0)-3(a_2-2a_1+a_0)=a_3-3a_2+3a_1+2a_0 \end{array} \] である．
(3) 次の自然数 $ n $ に関する命題を， $ n $ についての数学的帰納法で示す．
実数を係数とする $ n $ 次多項式 $ P(x) $ は， $ x=0,\ 2,\ 4,\ \cdots,\ 2n $ で整数値 $ a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n $ をとるとする． $ n $ 次の多項式を \[ Q(x)= b_0Q_0(x)+ b_1Q_1(x)+ b_2Q_2(x)+\cdots +b_nQ_n(x) \] とおく． $ x=0,\ 2,\ 4,\ \cdots,\ 2n $ において $ Q(x)=P(x) $ を満たすように， 整数 $ b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n $ を定めることができる．
$ 1\leqq n \leqq 3 $ については(2)の証明より成立する．
$ n $ のとき成立するとする． $ b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n $ は $ n $ のときに定まった整数の定数とする． \begin{eqnarray*} Q(2(n+1)) &=&b_0+b_1\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_1+b_2\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_2+\cdots +b_n\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_n +b_{n+1}\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_{n+1}\\ &=&b_0+b_1\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_1+b_2\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_2+\cdots +b_n\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_n +b_{n+1} \end{eqnarray*} なので， \[ b_{n+1}=Q(2(n+1))-\left(b_0+b_1\cdot{}_{n+1}\mathrm{C}_1+b_2\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_2+\cdots +b_n\cdot{}_{n+1} \mathrm{C}_n \right) \] と定めれば，条件を満たす．よって上記命題は一般の $ n $ で成立する．
$ Q(x) $ と $ P(x) $ はともに $ n $ 次式であり， $ Q(x)=P(x) $ が， $ x=0,\ 2,\ 4,\ \cdots,\ 2n $ の $ n+1 $ 個の値で成立する． よって $ Q(x)=P(x) $ は恒等式である．
$ x $ が偶数のとき， $ Q_0(x),\ Q_1(x),\ \cdots,\ Q_n(x) $ は整数で，係数 $ b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n $ も整数であるから， $ Q(x) $ は整数で，その結果 $ P(x) $ も整数である.(4) (3)より， \[ P(x)=\sum_{k=0}^nb_kQ_k(x) =\dfrac{1}{n!\cdot 2^n}\sum_{k=0}^nn!\cdot 2^nQ_k(x) \] ここで， \[ n!\cdot 2^nQ_k(x)=n!\cdot 2^n\dfrac{x(x-2)(x-4)\cdots(x-2k+2)}{k!\cdot 2^k} \] であり， $ k $ 連続整数の積は $ k! $ の倍数なので， $ k $ が奇数のときこの値は0でない整数である． したがって $ \displaystyle \sum_{k=0}^nn!\cdot 2^nQ_k(x) $ も整数であるから， \[ \left|\sum_{k=0}^nn!\cdot 2^nQ_k(x) \right|\geqq 1 \] である．よって， $ x $ が奇数のとき， $ P(x)\ne 0 $ ならば \[ \left|P(x) \right|\geqq \dfrac{1}{n!\cdot 2^n} \] が成り立つ．