2019年入試問題研究に戻る京大理系第1問解答
$ A $ で1から4のいずれかの目が出る事象， $ B $ で5か6の目が出る事象を表す． 条件を満たす事象は， 何回か $ A $ が続き，何回か $ B $ が続き，何回か $ A $ が続くものである． ただし $ X_0=0 $ であるので最初の $ A $ はなくてもよく，後の $ A $ もなくてもよい．
途中の $ B $ が $ l $ 回続くとする． $ l $ は $ 1\leqq l \leqq n $ であり，この $ B $ の続くのは， 1回目からはじまる場合から， $ n-l+1 $ 回目からはじまる場合まで $ n-l+1 $ 通りある． 事象 $ A $ の確率は $ \dfrac{2}{3} $ ，事象 $ B $ の確率は $ \dfrac{1}{3} $ なので， 条件をみたす事象の確率 $ p $ は， \begin{eqnarray*} p &=&\sum_{l=1}^n(n-l+1)\left(\dfrac{1}{3} \right)^l\left(\dfrac{2}{3} \right)^{n-l}\\ &=&\sum_{l=1}^n(n-l+1)\left(\dfrac{1}{2} \right)^l\left(\dfrac{2}{3} \right)^n =\left(\dfrac{2}{3} \right)^n\sum_{l=1}^n(n-l+1)\left(\dfrac{1}{2} \right)^l \end{eqnarray*} ここで， $ \displaystyle S=\sum_{l=1}^n(n-l+1)\left(\dfrac{1}{2} \right)^l $ とおくと， \begin{eqnarray*} S&=&n\cdot\dfrac{1}{2}+(n-1)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\ \dfrac{1}{2}S&=&\quad \quad \quad \quad \quad \quad n\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*} より，上下引いて \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}S&=&\dfrac{n}{2}-\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \right\}\\ &=&\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}} =\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\} \end{eqnarray*} よって， \[ S=n-1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \] これより \begin{eqnarray*} p&=&\left(\dfrac{2}{3} \right)^n\left\{n-1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}\\ &=&(n-1)\left(\dfrac{2}{3} \right)^n+\left(\dfrac{1}{3} \right)^n \end{eqnarray*} である．