京大特色3番解答
注意 $ y=x $ と $ y=\dfrac{1}{2c-x} $ の交点が \[ x=c\pm \sqrt{c^2-1} \] なので， $ 2c $ から $ \{x_n\} $ 数列を逆にたどり，いずれかをこの数列の初項にすることで， グラフの形状とあわせて，(1)と(2)は明らかである．
ただし論証は数列の論証として，行わねばならない．
(1)
条件(B)は，
\[
x_n=2c-\dfrac{1}{x_{n+1}}
\]
と書ける．そこで，数列 $ \{x_n\} $ を逆にたどる数列 $ \{y_n\} $ を
\[
y_1=2c,\ y_{n+1}=2c-\dfrac{1}{y_n}
\]
で定義する．
$ x_1=y_m $ とおけば， $ x_m=2c $ となるので， $ y_m $ は不都合な初項である．
無限に多くあることを示すために，数列 $ \{y_n\} $ は単調に減少し，
相異なる項の値が無限個であることを示せばよい．
$ n\geqq 2 $ のとき， $ 1< y_n< 2c $ であることを示す．
$ c>1 $ なので， $ y_2=2c-\dfrac{1}{2c} $ より，
$ 1< y_2< 2c $ である． $ 1< y_n< 2c $ とする．
$ \dfrac{1}{2c}< \dfrac{1}{y_n}< 1 $ のなで，
\[
2c-1< 2c-\dfrac{1}{y_n}< 2c-\dfrac{1}{2c}
\]
となり， $ 1< y_{n+1}< 2c $ である．よって $ n\geqq 2 $ のとき $ 1< y_n< 2c $ である．
$ y_1>y_2 $ である．
$ y_n>y_{n+1} $ とすれば，
$ -\dfrac{1}{y_n}>-\dfrac{1}{y_{n+1}} $ なので，
$ y_{n+1}>y_{n+2} $ となり，数学的帰納法から
$ y_n>y_{n+1} $ がつねに成立する．
よって(1)が示された．
(2)
(1)から $ y_n\leqq 2c $ なので，
いずれを初項にとっても $ q\leqq 2c $ は成立する．
$ c+\sqrt{c^2-1}< y_n $ を数学的帰納法で示す．
$ c+\sqrt{c^2-1}< c+c=y_1 $ である．
$ c+\sqrt{c^2-1}< y_n $ とする．
\begin{eqnarray*}
y_{n+1}&>&2c-\dfrac{1}{c+\sqrt{c^2-1}}=2c-\dfrac{1}{c+\sqrt{c^2-1}}\\
&=&2c-\left(c-\sqrt{c^2-1} \right)=c+\sqrt{c^2-1}
\end{eqnarray*}
より成立し，この結果(2)が示された．
(3)
$ c $ は $ 0< c< 1 $ にあるとする．このとき，数列 $ \{y_n\} $ の一般項を求める．
\[
t=2c-\dfrac{1}{t}
\]
を満たす $ t $ は $ t=c\pm \sqrt{c^2-1} $ で $ 0< c< 1 $ から $ t $ は虚数である．
これを $ \beta=c+\sqrt{c^2-1} $ ， $ \alpha=c-\sqrt{c^2-1} $ とする．
$ \alpha\beta=1 $ なので， $ \cos\theta=c $ となる $ \theta $ がとれ，
$ \beta=\cos\theta+i\sin\theta $ ，
$ \alpha=\cos\theta-i\sin\theta $ となる．また $ \alpha+\beta=2c $ である．
これを用いて，数列 $ \{s_n\} $ を
\[
s_n=\dfrac{y_n-\beta}{y_n-\alpha}
\]
で定義する．このとき，
\begin{eqnarray*}
s_{n+1}&=&\dfrac{y_{n+1}-\beta}{y_{n+1}-\alpha}
=\dfrac{2c-\frac{1}{y_n}-\beta}{2c-\frac{1}{y_n}-\alpha}=\dfrac{\alpha-\frac{1}{y_n}}{\beta-\frac{1}{y_n}}\\
&=&\dfrac{\alpha y_n-1}{\beta y_n-1}=\dfrac{\alpha}{\beta}\cdot\dfrac{y_n-\beta}{y_n-\alpha}=\dfrac{\alpha}{\beta}\cdot s_n
\end{eqnarray*}
となるので，
\[
s_n=\left(\dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{n-1}s_1
=\left(\dfrac{\alpha}{\beta} \right)^{n-1}\dfrac{2c-\beta}{2c-\alpha}
=\left(\dfrac{\alpha}{\beta} \right)^n
\]
である．よって，
\[
\dfrac{y_n-\beta}{y_n-\alpha}=\dfrac{\alpha^n}{\beta^n}
\]
これを逆に解いて，
\[
y_n=\dfrac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta^n-\alpha^n}
\]
である．ド・モアブルの定理から
\begin{eqnarray*}
y_n&=&\dfrac{\cos(n+1)\theta+i\sin(n+1)\theta-\cos(n+1)\theta+i\sin(n+1)\theta}{\cos n \theta+i\sin n \theta-\cos n \theta+i\sin n \theta}\\
&=&\dfrac{\sin(n+1)\theta}{\sin n \theta}=\dfrac{\sin n\theta\cos\theta+\cos n\theta\sin\theta}{\sin n \theta}
=\cos\theta+\dfrac{\sin\theta}{\tan n\theta}
\end{eqnarray*}
となる．ここで， $ \theta=1(ラジアン) $ にとり， $ c=\cos 1 $ とする．このとき，与えられた $ M $ に対して
\[
|y_N|=\left|\cos 1+\dfrac{\sin 1}{\tan N} \right| >M
…①
\]
となる $ N $ が存在することを示す．
$ 0< \cos 1< 1 $ なので， $ \tan n $ の正負にかかわらず
$ \left|\dfrac{\sin 1}{\tan N} \right| >M+1 $ であればよい．つまり
\[
\dfrac{\sin 1}{M+1}>|\tan N|
\]
となればよい． $ \tan \epsilon=\dfrac{\sin 1}{M+1} $ とおく．
$ 0< \epsilon< \dfrac{\pi}{2} $にとる.
ここで，自然数 $ n \ (n\geqq 4)$ に対して，
\[
n=q_n\pi +r_n\ (0< r_n< \pi)
\]
となる正整数 $ q_n $ と実数 $ r_n $ をとる． $ \pi $ が無理数なので，
数列 $ \{r_n\} $ の項はすべて無理数でかつ異なり，区間 $ (0,\ \pi) $ に属している．
したがって少なくとも一組
\[
|r_m-r_{m+l}|< \epsilon
\]
となるものが存在する．
\[
m=q_{m}\pi +r_{m},\
m+l=q_{m+l}\pi +r_{m+l}
\]
より
\[
l=\left(q_{m+l}-q_{m} \right)\pi+r_{m+l}-r_m
\]
である． $ \tan \left(q_{m+l}-q_{m} \right)\pi=0 $ なので，
\[
|\tan l|=\tan |l|=\tan\left|r_{m+l}-r_m\right|<\tan \epsilon
\]
したがって， $ N=|l| $ が条件 $ ① $ を満たす．
$ q=y_N $ とおけば， $ q $ が条件を満たす不都合な初項である．
つまり，命題 (P) が成り立つような実数 $ c $ が $ 0< c< 1 $ の範囲に存在した．