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特色入試総人理系1番解答

$ C $ が条件を満たすとき，それを平行移動した曲線も条件を満たす． \begin{eqnarray*} &&x^3+ax^2+bx+c\\ &=&\left(x+\dfrac{a}{3} \right)^3-\left(\dfrac{a^2}{3}-b \right)x-\dfrac{a^3}{27}+c\\ &=&\left(x+\dfrac{a}{3} \right)^3-\left(\dfrac{a^2}{3}-b \right)\left(x+\dfrac{a}{3} \right) +\dfrac{2a^3}{27}-\dfrac{ab}{3}+c \end{eqnarray*} であるから， $ X=x+\dfrac{a}{3} $ ， $ Y=y-\dfrac{2a^3}{27}+\dfrac{ab}{3}-c $ と平行移動し， $ p=\dfrac{a^2}{3}-b $ とおくことにより， \[ Y=X^3-pX \] となる．ここで $ g(x)=x^3-px $ とする． 曲線 $ y=g(x) $ を $ C' $ とする． $ C' $ 上の相異なる2点を $ (\alpha,\ f(\alpha)) $ ， $ (\beta,\ f(\beta)) $ とする．ただし $ \alpha\ne \beta $ である． 条件をみたす法線は $ y $ 軸と平行ではないので， $ g'(\alpha)\ne 0 $ ， $ g'(\beta)\ne 0 $ である． これらの点におけるそれぞれの法線の方程式は， \begin{eqnarray*} &&y=-\dfrac{1}{g'(\alpha)}(x-\alpha)+g(\alpha)\\ &&y=-\dfrac{1}{g'(\beta)}(x-\beta)+g(\beta) \end{eqnarray*} である．2つの法線が一致するので， \[ \begin{array}{ll} g'(\alpha)=g'(\beta)&\quad \cdots�@\\ \dfrac{\alpha}{g'(\alpha)}+g(\alpha)=\dfrac{\beta}{g'(\beta)}+g(\beta)&\quad \cdots�A \end{array} \] である．逆にこれをみたす $ \alpha $ と $ \beta $ が存在すれば， 法線を共有する2点が存在する． $ �@ $ 式から \[ 3\alpha^2-p=3\beta^2-p \] $ \alpha-\beta\ne 0 $ より $ \alpha+\beta=0 $ である． そして $ \alpha\ne \beta $ より $ \alpha\ne 0 $ である． このとき \[ g'(\alpha)=g'(\beta)=3\alpha^2-p \] $�A $ 式から \begin{eqnarray*} \dfrac{\alpha}{3\alpha^2-p}+\alpha^3-p\alpha&=& \dfrac{\beta}{3\beta^2-p}+\beta^3-p\beta\\ &=&-\dfrac{\alpha}{3\alpha^2-p}-\alpha^3+p\alpha \end{eqnarray*} $ \alpha\ne 0 $ なので，これより， \[ \dfrac{1}{3\alpha^2-p}+\alpha^2-p=0 \] これから， \[ 1+(3\alpha^2-p)(\alpha^2-p)=0 \] となり， $ 3\alpha^2-p=0 $ となる $ \alpha $ はこれを満たさない． この等式を整理して \[ 3\alpha^4-4p\alpha^2+p^2+1=0 \] ここで， $ \alpha^2=t $ とおく． \[ 3t^2-4pt+p^2+1=0 \quad \cdots�B \] となる． $ \alpha\ne 0 $ となる実数 $ \alpha $ が存在する条件は， 2次方程式 $ �B $ に $ t >0 $ の解が存在することである． の2解の積は正で，和が $ \dfrac{4p}{3} $ なので，この条件は \[ p >0,\ \quad D/4=4p^2-3(p^2+1)=p^2-3\geqq 0 \] と同値である．これより $ p\geqq \sqrt{3} $ である． したがって $ C $ が条件を満たすための $ f(x) $ に関する必要十分条件は \[ \dfrac{a^2}{3}-b\geqq \sqrt{3} \] である．

問題