2019年入試問題研究に戻る東大理科第5問
(1) $ n $ を1以上の整数とする． $ x $ についての方程式 \[ x^{2n-1}=\cos x \] は，ただ1つの実数解 $ a_n $ をもつことを示せ．
(2) (1)で定まる $ a_n $ に対し， $ \cos a_n>\cos 1 $ を示せ．
(3) (1)で定まる数列 $ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots\cdots,\ a_n,\ \cdots\cdots $ に対し， \[ a=\lim_{n \to \infty}a_n,\ \quad b=\lim_{n \to \infty}{a_n}^n,\ \quad c=\lim_{n \to \infty}\dfrac{{a_n}^n-b}{a_n-a} \] を求めよ．