2019年入試問題研究に戻る東大理科第5問解答
(1) $ f(x)=x^{2n-1}-\cos x $ とおく． 区間 $ x< -1 $ において $ x^{2n-1}< -1 $ より $ f(x)< 0 $ ． $ -1\leqq x < 0 $ において $ x^{2n-1}< 0,\ \cos x >0 $ より， $ f(x)< 0 $ ． $ 1< x $ において $ f(x) >0 $ である．
そして $ f(1)=1-\cos 1 >0 $ ， $ f(0)=-\cos 0< 0 $ であり， $ 0< x< 1 $ において $ f'(x)=(2n-1)x^{2(n-1)}+\sin x >0 $ であるから， $ f(x)=0 $ は $ 0< x< 1 $ にただ1つの実数解 $ a_n $ をもつ．
(2) $ 0< a_n< 1 $ であり，区間 $ [0,\ \pi] $ で $ \cos x $ は単調に減少するので， $ \cos a_n >\cos 1 $ である．
(3) $ \cos 1< \cos a_n={a_n}^{2n-1} $ より， \[ \cos^{\frac{1}{2n-1}}1< a_n< 1 \] $ 1< \dfrac{\pi}{3} $ より $ \cos 1 >\dfrac{1}{2} $ であるから， \[ \lim_{n \to \infty}\cos^{\frac{1}{2n-1}}=1 \] よって， \[ a=\lim_{n \to \infty}a_n=1 \] である．
※ ある別方法 \[ \lim_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{2n-1} \right)^{2n-1}=\dfrac{1}{e}< \dfrac{1}{2}< \cos x \ (0< x< 1) \] よって，単調性を考え \[ 1-\dfrac{1}{2n-1}< a_n< 1 \] より， \[ a=\lim_{n \to \infty}a_n=1 \] である．
次に， \[ \cos a_n={a_n}^{2n-1}=\left({a_n}^n\right)^{2-\frac{1}{n}} \] より \[ {a_n}^n=\left(\cos a_n \right)^{\frac{1}{2-\frac{1}{n}}} \] よって， \[ b=\lim_{n \to \infty}{a_n}^n =\lim_{n \to \infty}\left(\cos a_n \right)^{\frac{1}{2-\frac{1}{n}}}=\sqrt{\cos 1} \] である．
$ \cos a_n={a_n}^{2n-1} $ より， \[ (a_n\cos a_n)^{\frac{1}{2}}={a_n}^n \] である．よって． \[ \dfrac{{a_n}^n-b}{a_n-a}=\dfrac{(a_n\cos a_n)^{\frac{1}{2}}-(\cos 1)^{\frac{1}{2}}}{a_n-1} \] ここで， $ g(x)=(x\cos x)^{\frac{1}{2}} $ ， $ a_n=1+h_n $ とおくと， \[ \dfrac{{a_n}^n-b}{a_n-a}=\dfrac{g(a_n)-g(1)}{a_n-1}=\dfrac{g(1+h_n)-g(1)}{h_n} \] $ n\to \infty $ のとき， $ h_n\to 0 $ なので， \[ c=\lim_{n \to \infty}\dfrac{{a_n}^n-b}{a_n-a} =\lim_{h_n \to 0}\dfrac{g(1+h_n)-g(1)}{h_n}=g'(1) \] \[ g'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(x\cos x)^{-\frac{1}{2}}\left(\cos x-x\sin x \right) \] であるから， \[ c=g'(1)=\dfrac{1}{2}\cdot(\cos 1)^{-\frac{1}{2}}\left(\cos 1-\sin 1 \right) =\dfrac{\cos 1-\sin 1 }{2\sqrt{\cos 1}} \] である．