2019年入試問題研究に戻る東北大理系第4問
実数を係数にもつ整式 $ A(x) $ を $ x^2+1 $ で割った余りとして得られる整式を $ \left[A(x)\right] $ と表す．
(1) $ \left[2x^2+x+3\right] $ ， $ \left[x^5-1\right] $ ， $ \left[\left[2x^2+x+3\right]\left[x^5-1\right]\right] $ をそれぞれ求めよ．
(2) 整式 $ A(x) $ ， $ B(x) $ に対して，次の等式が成り立つことを示せ． \[ \left[A(x)B(x)\right]=\left[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\right] \]
(3) 実数 $ \theta $ に対して，次の等式が成り立つことを示せ． \[ \left[(x\sin\theta+\cos\theta)^2\right]=x\sin2\theta+\cos2\theta \]
(4) 次の等式を満たす実数 $ a,\ b $ の組 $ (a,\ b) $ をすべて求めよ． \[ \left[(ax+b)^4\right]=-1 \]