2019年入試問題研究に戻る東北大理系第4問解答
(1) 実数を係数にもつ整式 $ A(x) $ を $ x^2+1 $ で割った余りは1次以下の整式であるので，これを $ px+q $ とし， 商を $ Q(x) $ とおく． \[ A(x)=(x^2+1)Q(x)+px+q \] $ x=i $ を代入すると， \[ A(i)=pi+q \] となる．$px+q$は実数を係数にもつ整式$A(x)$を$x^2+1$で割った余りなので，$p$と$q$は実数である． よって，これから$p$と$q$は一意に定まる． \begin{eqnarray*} &&2i^2+i+3=i+1\ より\ p=1,\ q=1\ ゆえに\ \left[2x^2+x+3\right]=x+1\\ &&i^5-1=i-1\ より\ p=1,\ q=-1\ ゆえに\ \left[x^5-1\right]=x-1\\ &&(i+1)(i-1)=-2\ より\ p=0,\ q=-2\ ゆえに\ \left[\left[2x^2+x+3\right]\left[x^5-1\right]\right]=-2 \end{eqnarray*} (2) (1)と同様に， \[ A(x)=(x^2+1)Q_1(x)+px+q,\ B(x)=(x^2+1)Q_2(x)+rx+s \] とおく．このとき \[ A(i)B(i)=(pi+q)(ri+s)=(ps+qr)i-pr+qs \quad \cdots① \] 一方， \[ \left[A(x)\right]=px+q,\ \left[B(x)\right]=rx+s \] なので， $ \left[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\right] $ に $ x=i $ を代入すると \[ (pi+q)(ri+s)=(ps+qr)i-pr+qs \quad \cdots② \] となり， $ ① $ と $ ② $ が同一なので，等式 \[ \left[A(x)B(x)\right]=\left[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\right] \] が成立する．
(3) $ A(x)=(x\sin\theta+\cos\theta)^2 $ とおく． ドモアブルの定理から \[ A(i)=(i\sin\theta+\cos\theta)^2=i\sin2\theta+\cos2\theta \] よって， \[ \left[(x\sin\theta+\cos\theta)^2\right]=x\sin2\theta+\cos2\theta \] である．
(4) 実数 $ a,\ b $ の満たすべき条件は \[ (ai+b)^4=-1 \] である．これより $ |ai+b|=1 $ なので， $ ai+b=i\sin\theta+\cos\theta $ とおける．このとき， \[ (ai+b)^4=i\sin4\theta+\cos4\theta=-1 \] これから \[ 4\theta=\pi+2k\pi \] よって， \begin{eqnarray*} ai+b&=&i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \right)\\ &=&\left(i\sin\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{4} \right) \left(i\sin\dfrac{k\pi}{2}+\cos\dfrac{k\pi}{2} \right)\\ &=&\dfrac{i+1}{\sqrt{2}}\left(i\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2} \right)^k=\dfrac{i+1}{\sqrt{2}}\cdot i^k \end{eqnarray*} よって \[ ai+b=\dfrac{i+1}{\sqrt{2}},\ \dfrac{-1+i}{\sqrt{2}},\ -\dfrac{i+1}{\sqrt{2}} ,\ \dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \] これより， \[ (a,\ b)= \left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \ (複合任意) \] である．