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東北大理系第5問解答

(1)　 $ \displaystyle \int_{-1}^0\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx $ で $ x=-t $ と置きかえることにより、 \[ \int_{-1}^0\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx= \int_1^0\dfrac{\sin^2(\pi t)}{1+e^{-t}}\,(-dt)=\int_0^1\dfrac{\sin^2(\pi t)e^t}{1+e^t}\,dt \] よって， \begin{eqnarray*} \int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx&=& \int_{-1}^0\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx+ \int_0^1\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx\\ &=&\int_0^1\dfrac{\sin^2(\pi x)e^x}{1+e^x}\,dx+\int_0^1\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx\\ &=&\int_0^1\sin^2(\pi x)\,dx\\ &=&\int_0^1\dfrac{1-\cos(2\pi x)}{2}\,dx =\biggl[\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sin(2\pi x)}{4\pi}\biggr]_0^1 =\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

(2)　 \[ \int_{-1}^1(e^x-e^t+1)f(t)\,dt =(e^x+1)\int_{-1}^1f(t)\,dt-\int_{-1}^1e^tf(t)\,dt \] であるから，条件式は次のように変形される． \[ f(x)=\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}+\int_{-1}^1f(t)\,dt-\dfrac{1}{1+e^x}\int_{-1}^1e^tf(t)\,dt \] ここで， \[ a=\int_{-1}^1f(t)\,dt,\ \quad b=\int_{-1}^1e^tf(t)\,dt \] とおく． \[ f(x)=\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}+a-\dfrac{b}{1+e^x} \] なので， \begin{eqnarray*} a&=&\int_{-1}^1\left\{\dfrac{\sin^2(\pi t)}{1+e^t}+a-\dfrac{b}{e^t+1}\right\}\,dt\\ &=&\int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi t)}{1+e^t}\,dt+2a-b\int_{-1}^1\dfrac{1}{e^t+1}\,dt\\ b&=&\int_{-1}^1\left\{\dfrac{\sin^2(\pi t)e^t}{1+e^t}+ae^t-\dfrac{be^t}{e^t+1}\right\}\,dt\\ &=&\int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi t)e^t}{1+e^t}\,dt+a\int_{-1}^1e^t\,dt-b\int_{-1}^1\dfrac{e^t}{e^t+1}\,dt \end{eqnarray*} ここで，(1)と同様の計算によって， \begin{eqnarray*} \int_{-1}^1\dfrac{1}{e^t+1}\,dt&=&\int_{-1}^0\dfrac{1}{e^t+1}\,dt+\int_0^1\dfrac{1}{e^t+1}\,dt\\ &=&\int_0^1\dfrac{e^t}{e^t+1}\,dt+\int_0^1\dfrac{1}{e^t+1}\,dt=\int_0^11\,dt=1\\ \int_{-1}^1\dfrac{e^t}{e^t+1}\,dt&=&\int_{-1}^1\dfrac{1}{1+e^{-t}}\,dt=\int_{-1}^1\dfrac{1}{1+e^t}\,dt=1\\ \int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi t)e^t}{1+e^t}\,dt&=&\int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi t)}{e^{-t}+1}\,dt =\int_{-1}^1\dfrac{\sin^2(\pi t)}{e^t+1}\,dt=\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*} なので， \begin{eqnarray*} a&=&\dfrac{1}{2}+2a-b\\ b&=&\dfrac{1}{2}+a\left(e-e^{-1} \right)-b \end{eqnarray*} である． $ a $ と $ b $ について解いて， \[ a=\dfrac{e}{2(e^2-2e-1)},\ \quad b=\dfrac{e^2-e-1}{2(e^2-2e-1)} \] となる．よって， \[ f(x)=\dfrac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x} -\dfrac{e^2-e-1}{2(e^2-2e-1)(e^x+1)} +\dfrac{e}{2(e^2-2e-1)} \] である．

問題