2019年入試問題研究に戻る東工大第1問
(1) $ h>0 $ とする． 座標平面上の点 $ \mathrm{O}(0,0) $ ，点 $ \mathrm{P}(h,s) $ ，点 $ \mathrm{Q}(h,t) $ に対して， 三角形 $ \mathrm{OPQ} $ の面積を $ S $ とする．ただし， $ s < t $ とする． 三角形 $ \mathrm{OPQ} $ の辺 $ \mathrm{OP,\ OQ,\ PQ} $ の長さをそれぞれ $ p,\ q,\ r $ とするとき， 不等式 \[ p^2+q^2+r^2\geqq 4\sqrt{3}S \] が成り立つことを示せ．また，等号が成立するときの $ s,\ t $ の値を求めよ．
(2) 四面体 $ \mathrm{ABCD} $ の表面積を $ T $ ，辺 $ \mathrm{BC,\ CA,\ AB} $ の長さをそれぞれ $ a,\ b,\ c $ とし， 辺 $ \mathrm{AD,\ BD,\ CD} $ の長さをそれぞれ $ l,\ m,\ n $ とする． このとき，不等式 \[ a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2\geqq 2\sqrt{3}T \] が成り立つことを示せ． また，等号が成立するのは四面体 $ \mathrm{ABCD} $ がどのような四面体のときか答えよ．