2019年入試問題研究に戻る東工大第1問解答
(1) $ S=\dfrac{1}{2}h(t-s) $ である．また， \[ p^2=h^2+s^2,\ \quad q^2=h^2+t^2,\ \quad r^2=(t-s)^2 \] であるから， \begin{eqnarray*} p^2+q^2+r^2-4\sqrt{3}S&=& h^2+s^2+h^2+t^2+(t-s)^2-2\sqrt{3}h(t-s)\\ &=&2h^2-2\sqrt{3}(t-s)h+s^2+t^2+(t-s)^2\\ &=&2\left\{h-\dfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2} \right\}^2-\dfrac{3(t-s)^2}{2}+s^2+t^2+(t-s)^2\\ &=&2\left\{h-\dfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2} \right\}^2+\dfrac{(s+t)^2}{2}\geqq 0 \end{eqnarray*} より，不等式 \[ p^2+q^2+r^2\geqq 4\sqrt{3}S \] が成り立つ．等号が成立するのは， \[ h=\dfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2},\ s+t=0 \] より \[ t=\dfrac{h}{\sqrt{3}},\ s=-\dfrac{h}{\sqrt{3}} \] のときである．このとき， \[ p^2=q^2=r^2=\dfrac{4}{3}h^2 \] となり，三角形 $ \mathrm{OPQ} $ は正三角形である．
(2) 平面上の任意の三角形 $ \mathrm{ABC} $ に対し，移動して点 $ \mathrm{A} $ を $ y $ 軸上におき， 回転させて辺 $ \mathrm{BC} $ が $ y $ 軸と平行で，第1，第4象限にあるようにする． そして平行移動して点 $ \mathrm{A} $ が原点にあるようにする． これは(1)の三角形 $ \mathrm{OPQ} $ の点の配置と同じである． よって(1)の不等式は，3辺の長さが $ p,\ q,\ r $ の任意の三角形でなりたつ． 三角形 $ \mathrm{ABC} $ の面積を $ \bigtriangleup \mathrm{ABC} $ のように表す． これより， \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2\geqq 4\sqrt{3}\bigtriangleup \mathrm{ABC}&&\\ l^2+m^2+c^2\geqq 4\sqrt{3}\bigtriangleup \mathrm{ABD}&&\\ a^2+m^2+n^2\geqq 4\sqrt{3}\bigtriangleup \mathrm{BCD}&&\\ l^2+b^2+n^2\geqq 4\sqrt{3}\bigtriangleup \mathrm{ACD} \end{eqnarray*} これらを加えて， \[ 2(a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2)\geqq 4\sqrt{3}T \] より，不等式 \[ a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2\geqq 2\sqrt{3}T \] が成り立つことが示された． 等号は，4等号がすべて成立するときなので，4面が正三角形， つまり正四面体のときである．