2020年入試問題研究に戻る大教大解答
(1) $ \bigtriangleup \mathrm{BAD} $ について余弦定理から \[ x^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta \]
(2) $ \angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta $ なので， \[ x^2=b^2+c^2-2bc\cos(\pi-\theta)=b^2+c^2+2bc\cos\theta \] (1)とあわせて， \[ 2abcd\cos\theta=bc(a^2+d^2-x^2)=ad(x^2-b^2-c^2) \] よって， \[ (ad+bc)x^2=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)=(ab+cd)(ac+bd) \] となり，(2)の等式が示された．
(3) 同様にして， \[ y^2=\dfrac{(bc+da)(ac+bd)}{ab+cd} \] よって， \[ (xy)^2=(ac+bd)^2 \] となり，これから(3)の等式を得る．
※ これをトレミーの定理という． 一般の位置にある4点に対しては \[ xy\leqq ac+bd \] が成り立つ．これについては 『数学対話』「フェルマ点」内の「トレミーの定理」を参照のこと．