2020年入試問題研究に戻る広大後期5番
実数 $ x $ に対して， $ x $ を超えない最大の整数を $ [x] $ で表す。 2以上の整数 $ n $ に対して \[ S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left[\dfrac{k^3}{n} \right] \] と定める。たとえば， \[ S_3=\left[\dfrac{1}{3} \right]+\left[\dfrac{8}{3} \right]=2,\ \quad S_5=\left[\dfrac{1}{5} \right]+\left[\dfrac{8}{5} \right] +\left[\dfrac{27}{5} \right]+\left[\dfrac{64}{5} \right]=18 \] である。以下の問いに答えよ。必要ならば，正の整数 $ m $ に対して \[ \sum_{k=1}^{m}k=\dfrac{m(m+1)}{2},\ \quad \sum_{k=1}^{m}k^2=\dfrac{m(m+1)(m+2)}{6} \] が成り立つことを，証明なしで用いてよい。
(1) $ n $ を2以上の整数とし， $ k $ を $ n $ 未満の正の整数とする。 $ n $ と $ k $ が互いに素であるとき， \[ \left[\dfrac{k^3}{n} \right]+\left[\dfrac{(n-k)^3}{n} \right] \] を $ n $ ， $ k $ ついての整式として表せ。
(2) $ p $ を素数とするとき， $ S_p $ を $ p $ を用いて表せ。また， $ S_{23} $ を求めよ｡
(3) $ p $ を素数とするとき， $ S_{p^2} $ を $ p $ を用いて表せ。また， $ S_{25} $ を求めよ｡
※ 類似追加問題
$ p,\ q $ を相異なる3以上の2つの素数とするとき， $ S_{pq} $ を $ p $ と $ q $ を用いて表せ。