2020年入試問題研究に戻る広大後期5番解答
(1) $ \left[\dfrac{k^3}{n} \right]=m $ とする．このとき定義より $ m\leqq \dfrac{k^3}{n}< m+1 $ である．また， $ \dfrac{(n-k)^3}{n}=n^2-3nk+3k^2-\dfrac{k^3}{n} $ であるから， \[ n^2-3nk+3k^2-m-1< n^2-3nk+3k^2-\dfrac{k^3}{n}\leqq n^2-3nk+3k^2-m \] が成り立つ． $ n $ と $ k $ が互いに素なので， $ \dfrac{k^3}{n} $ は整数でなく，右辺の等号は成立しない． よって， \[ \left[\dfrac{(n-k)^3}{n} \right]=n^2-3nk+3k^2-m-1 \] である．この結果， \[ \left[\dfrac{k^3}{n} \right]+\left[\dfrac{(n-k)^3}{n} \right] =n^2-3nk+3k^2-1 \] となる．
(2) $ n=p=2 $ のとき． \[ S_p=S_2=\left[\dfrac{1}{2} \right]=0 \] $ p $ を奇素数とする． $ 1\leqq k \leqq p-1 $ の範囲の $ k $ に対する $ k^3 $ は $ n=p $ と互いに素である． (1)を用いて， \begin{eqnarray*} S_p&=&\left[\dfrac{1^3}{p} \right]+\cdots+\left[\dfrac{\left(\frac{p-1}{2}\right)^3}{p} \right]+\left[\dfrac{\left(\frac{p+1}{2}\right)^3}{p} \right]+\cdots+\left[\dfrac{(p-1)^3}{p} \right]\\ &=&\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left\{\left[\dfrac{k^3}{p} \right]+\left[\dfrac{(p-k)^3}{p} \right]\right\}\\ &=&\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(p^2-3pk+3k^2-1\right)\\ &=&p^2\cdot \dfrac{p-1}{2}-3p\cdot\dfrac{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{p+1}{2}}{2}+\dfrac{3\left(\frac{p-1}{2} \right) \left(\frac{p+1}{2} \right)\left(p-1+1 \right)}{6}-\dfrac{p-1}{2}\\ &=&\dfrac{1}{4}(p-2)(p-1)(p+1) \end{eqnarray*} となる． $ p=2 $ のときもこの式がは $ 0 $ となるので， $ p=2 $ のときを含めすべての素数に対して \[ S_p=\dfrac{1}{4}(p-2)(p-1)(p+1) \] である．またこれより， \[ S_{23}=\dfrac{1}{4}21\cdot 22\cdot 24=2772 \]
(3) $ p=2 $ のとき， $ n=p^2=4 $ であり， \[ S_{p^2}=S_{4}= \left[\dfrac{1}{4} \right]+ \left[\dfrac{8}{4} \right]+ \left[\dfrac{27}{4} \right]=8 \] である．次に， $ p $ を奇素数とする． $ n=p^2 $ と $ k $ が互いに素でないのは $ k $ が $ p $ の倍数のときである． $ 1\leqq k \leqq p^2-1 $ の範囲では $ k=pl\ (1\leqq l \leqq p-1) $ と表せる． このときは \begin{eqnarray*} \left[\dfrac{k^3}{p^2} \right]+\left[\dfrac{(p^2-k)^3}{p^2} \right] &=&pl^3+p(p-l)^3\\ &=&p^4-3p^3l+3p^2l^2=p^4-3p^2k+3k^2 \end{eqnarray*} $ p $ と $ k $ が互いに素なとき． \[ \left[\dfrac{k^3}{p^2} \right]+\left[\dfrac{(p^2-k)^3}{p^2} \right]= p^4-3p^2k+3k^2-1 \] (2)と同様に考える． $ 1\leqq k\leqq \dfrac{p^2-1}{2} $ の範囲の $ k $ で $ p $ と互いに素でないものは $ \dfrac{p-1}{2} $ 個あるので，この分を調整する． そして，(2)の計算での $ p $ を $ p^2 $ に置きかえて用いることにより， \begin{eqnarray*} S_{p^2}&=&\sum_{k=1}^{\frac{p^2-1}{2}}\left\{\left[\dfrac{k^3}{p^2} \right]+\left[\dfrac{(p^2-k)^3}{p} \right]\right\}\\ &=&\sum_{k=1}^{\frac{p^2-1}{2}}\left(p^4-3p^2k+3k^2-1\right)+\dfrac{p-1}{2}\\ &=&\dfrac{1}{4}(p^2-2)(p^2-1)(p^2+1)+\dfrac{p-1}{2}\\ &=&\dfrac{1}{4}(p-1)\left\{(p^2-2)(p+1)(p^2+1)+2 \right\}\\ &=&\dfrac{1}{4}p(p-1)(p^4+p^3-p^2-p-2) \end{eqnarray*} $ p=2 $ のときも成り立つので， \[ S_{p^2}=\dfrac{1}{4}p(p-1)(p^4+p^3-p^2-p-2) \] である．またこれを $ p=5 $ で用いて， \[ S_{25}=\dfrac{1}{4}5(5-1)(625+125-25-5-2)=3590 \]
追加問題 $ pq $ と $ k $ が互いに素でないのは $ k $ が $ p $ の倍数か $ q $ の倍数のときである． $ 1\leqq k \leqq pq-1 $ の範囲では $ k=pl\ (1\leqq l \leqq q-1) $ または $ k=ql\ (1\leqq l \leqq p-1) $ と表せる． $ k=pl\ (1\leqq l \leqq q-1) $ のとき． \[ \left[\dfrac{k^3}{pq} \right]+\left[\dfrac{(pq-k)^3}{pq} \right] = \left[\dfrac{p^2l^3}{q} \right]+\left[\dfrac{p^2(q-l)^3}{q} \right] \] ここで， $ \left[\dfrac{p^2l^3}{q} \right]=m $ とおく． \begin{eqnarray*} \dfrac{p^2(q-l)^3}{q}&=&p^2q^2-3p^2ql+3p^2l^2-\dfrac{p^2l^3}{q}\\ &=&n^2-3nk+3k^2-\dfrac{p^2l^3}{q} \end{eqnarray*} であるから， \[ n^2-3nk+3k^2-m-1< n^2-3nk+3k^2-\dfrac{p^2l^3}{q}\leqq n^2-3nk+3k^2-m \] これより， $ \left[\dfrac{(pq-k)^3}{pq} \right]=-m-1 $ となるので， $ k=pl $ のとき， \[ \left[\dfrac{k^3}{pq} \right]+\left[\dfrac{(pq-k)^3}{pq} \right]= n^2-3nk+3k^2-1 \] これは， $ k $ が $ n=pq $ と互いに素なときの式と一致する．よって， \begin{eqnarray*} S_{pq}&=&\sum_{k=1}^{\frac{pq-1}{2}}\left\{\left[\dfrac{k^3}{pq} \right] +\left[\dfrac{(pq-k)^3}{pq} \right]\right\}\\ &=&\sum_{k=1}^{\frac{pq-1}{2}}\left(p^2q^2-3pqk+3k^2-1\right)\\ &=&\dfrac{1}{4}(pq-2)(pq-1)(pq+1) \end{eqnarray*}
※ 一般に， $ n $ が $ n=p_1p_2\cdots $ と相異なる素数の積のとき， \[ S_n=\dfrac{1}{4}(n-2)(n-1)(n+1) \] が成り立つと予想される． $ n=2\cdot 3\cdot 5=30 $ で確認すると成り立っている． 証明はまだである．