2020年入試問題研究に戻る2020大阪府立大後期理学類2番
$ n $ を自然数とし， $ a_n $ ， $ b_n $ を等式 \[ \left(3+\sqrt{7} \right)^n=a_n+b_n\sqrt{7} \] を満たす整数と定める．このとき，以下の問いに答よ．
(1) $ a_3 $ と $ b_3 $ を求めよ．
(2) $ \left(3-\sqrt{7} \right)^n=a_n-b_n\sqrt{7} $ が成り立つことを示せ．
(3) $ n $ が3の倍数のとき， $ {a_n}^2 $ を7で割った余りを求めよ．
(4) $ \left(3+\sqrt{7} \right)^n=\sqrt{c_n+2^n}+\sqrt{c_n} $ を満たす整数$c_n$が存在することを示せ．