2020年入試問題研究に戻る2020大阪府立大後期理学類2番解答
(1) \begin{eqnarray*} \left(3+\sqrt{7} \right)^{n+1}&=&\left(3+\sqrt{7} \right)\left(3+\sqrt{7} \right)^n =\left(3+\sqrt{7} \right)(a_n+b_n\sqrt{7})\\ &=&3a_n+7b_n+\sqrt{7}\left(a_n+3b_n \right)\\ &=&a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{7} \end{eqnarray*} $ \sqrt{7} $ は無理数で， $ a_n,\ b_n $ は整数なので， \[ a_{n+1}=3a_n+7b_n,\ \quad b_{n+1}=a_n+3b_n \] がなりたつ． $ (a_1,\ b_1)=(3,\ 1) $ であるから， $ (a_2,\ b_2)=(3\cdot 3+7\cdot 1,\ 3+3\cdot 1)=(16,\ 6) $ である．よって， \[ (a_3,\ b_3)=(3\cdot 16+7\cdot 6,\ 16+3\cdot 6)=(90,\ 34) \] である．
(2) $ n $ に関する数学的帰納法で示す． $ (a_1,\ b_1)=(3,\ 1) $ であるから $ n=1 $ のときは成立する． $ n $ で成立とする． $ n+1 $ のとき， \begin{eqnarray*} \left(3-\sqrt{7} \right)^{n+1}&=&\left(3-\sqrt{7} \right)\left(3-\sqrt{7} \right)^n =\left(3-\sqrt{7} \right)(a_n-b_n\sqrt{7})\\ &=&3a_n+7b_n-\sqrt{7}\left(a_n+3b_n \right) =a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{7} \end{eqnarray*} より成立した．よって自然数 $ n $ で題意が成立する．
(3) (2)より \[ \left(3+\sqrt{7} \right)^n\left(3-\sqrt{7} \right)^n =(a_n+b_n\sqrt{7})(a_n-b_n\sqrt{7}) \] なので， \[ 2^n={a_n}^2-7{b_n}^2 \] ここで $ n=3m $ とおく．これは整数である． \[ 2^{3m}=8^m={a_n}^2-7{b_n}^2 \] $ 8\ (\bmod \ 7)\equiv 1 $ なので， \[ {a_n}^2\equiv 2^{3m}\equiv 1\ (\bmod \ 7) \] より，求める余りは1である．
(4) $ c_n=7{b_n}^2 $ とおく． (3)から \[ 2^n+c_n={a_n}^2 \] なので， $ a_n=\sqrt{c_n+2^n} $ であり， $ \sqrt{c_n}=b_n\sqrt{7} $ なので，このとき， \[ \left(3+\sqrt{7} \right)^n=a_n+b_n\sqrt{7}=\sqrt{c_n+2^n}+\sqrt{c_n} \] が成立する．