2020年入試問題研究に戻る大阪市大後期理学部4番
$ k $ を2以上の自然数とし， $ z=\cos\dfrac{2\pi}{k}+i\sin\dfrac{2\pi}{k} $ とおく．ただし， $ i $ は虚数単位とする． 次の問いに答えよ，
問1 $ m $ ， $ n $ を整数とする． $ m-n $ が $ k $ の倍数であることは， $ z^m=z^n $ となるための必要十分条件であることを示せ．
問2 $ l $ を $ k $ と互いに素な自然数とする． このとき，複素数 $ z^l $ ， $ z^{2l} $ ， $ z^{3l} $ ， $ \cdots\cdots $ ， $ z^{kl} $ はすべて異なることを示せ．
問3 $ l $ を自然数とする． 複素数 $ z^l $ ， $ z^{2l} $ ， $ z^{3l} $ ， $ \cdots\cdots $ ， $ z^{kl} $ がすべて異なるとき， $ k $ と $ l $ は互いに素であることを示せ．