2020年入試問題研究に戻る大阪市大後期理学部4番解答
問1 $ z^m=z^n $ を同値変形すると， $ z^{m-n}=1 $ より， $ \cos\dfrac{m-n}{k}2\pi+i\sin\dfrac{m-n}{k}2\pi=1 $ となる．これが成立する必要十分条件は $ \dfrac{m-n}{k} $ が整数，つまり $ m-n $ が $ k $ の倍数であることとなる．
問2 $ 1\leqq i,\ j\leqq k $ に対して $ z^{il}=z^{jl} $ となるとする．(1)から， $ il-jl=(i-j)l $ が $ k $ の倍数である． $ l $ が $ k $ と互いに素な自然数なので $ i-j $ が $ k $ の倍数である．
$ -k+1\leqq i-j\leqq k-1 $ であるから， $ i-j=0 $ ． つまり， $ z^{il}=z^{jl} $ となるのは $ i=j $ のときにかぎり， 複素数 $ z^l $ ， $ z^{2l} $ ， $ z^{3l} $ ， $ \cdots\cdots $ ， $ z^{kl} $ はすべて異なる．問3 複素数 $ z^l $ ， $ z^{2l} $ ， $ z^{3l} $ ， $ \cdots\cdots $ ， $ z^{kl} $ がすべて異なり，かつ $ k $ と $ l $ が互いに素ではないとする．共通因数を $ p $ とし， $ k=pk' $ ， $ l=pl' $ とおく．
このとき， $ 1< k'+1< k $ で \[ (k'+1)l-l=k'l=k'pl'=l'k \] なので，(1)より， $ z^l $ と $ z^{(k'+1)l} $ が一致し，すべて異なるという条件と矛盾する．
よって， $ k $ と $ l $ は互いに素である．