2020年入試問題研究に戻る名大理系4番
2名が先攻と後攻にわかれ，次のようなゲームを行う。
(i) 正方形の4つの頂点を反時計回りにA，B，C，Dとする。 両者はコマを1つずつ持ち，ゲーム開始時には先攻の持ちゴマはA，後攻の持ちゴマはCに置いてあるとする。
(ii) 先攻から始めて，交互にサイコロを振る。ただしサイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。 出た目を3で割った余りが0のときコマは動かさない。 また余りが1のときは，自分のコマを反時計回りに隣の頂点に動かし， 余りが2のときは，自分のコマを時計回りに隣の頂点に動かす。 もし移動した先に相手のコマがあれば，その時点でゲームは終丁とし，サイコロを振った者の勝ちとする。ちょうど$n$回サイコロが振られたときに勝敗が決まる確率を$p_n$とする。このとき，以下の問に答えよ。
(1) $p_2,\ p_3$を求めよ。
(2) $p_n$を求めよ。
(3) このゲームは後攻にとって有利であること，すなわち2以上の任意の整数$N$に対して \[ \sum_{m=1}^{\left[\frac{N+1}{2} \right]}p_{2m-1} < \sum_{m=1}^{\left[\frac{N}{2} \right]}p_{2m} \] が成り立つことを示せ。ただし正の実数 $ a $ に対し $ [a] $ は，その整数部分( $ k\leqq a< k+1 $ となる整数 $ k $ )を表す。