2020年入試問題研究に戻る

名大理系4番

2名が先攻と後攻にわかれ,次のようなゲームを行う。

(i) 正方形の4つの頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。 両者はコマを1つずつ持ち,ゲーム開始時には先攻の持ちゴマはA,後攻の持ちゴマはCに置いてあるとする。
(ii) 先攻から始めて,交互にサイコロを振る。ただしサイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。 出た目を3で割った余りが0のときコマは動かさない。 また余りが1のときは,自分のコマを反時計回りに隣の頂点に動かし, 余りが2のときは,自分のコマを時計回りに隣の頂点に動かす。 もし移動した先に相手のコマがあれば,その時点でゲームは終丁とし,サイコロを振った者の勝ちとする。

ちょうど$n$回サイコロが振られたときに勝敗が決まる確率を$p_n$とする。このとき,以下の問に答えよ。

(1) $p_2,\ p_3$を求めよ。
(2) $p_n$を求めよ。
(3) このゲームは後攻にとって有利であること,すなわち2以上の任意の整数$N$に対して \[ \sum_{m=1}^{\left[\frac{N+1}{2} \right]}p_{2m-1} < \sum_{m=1}^{\left[\frac{N}{2} \right]}p_{2m} \] が成り立つことを示せ。ただし正の実数 $ a $ に対し $ [a] $ は,その整数部分( $ k\leqq a< k+1 $ となる整数 $ k $ )を表す。

解答