2020年入試問題研究に戻る名大理系3番解答
(1) ちょうど$2$回サイコロが振られたときに勝敗が決まるのは， 先攻のものが動き，後攻のものがそこに向けて動くときなので， \[ p_2=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9} \] ちょうど$3$回サイコロが振られたときに勝敗が決まるのは，
i) 先攻のものが動かず，そこから $ p_2 $ の確率で勝敗が決まる。
ii) 先攻のものが動き，後攻のものが動かず，先攻のものが後攻のコマに向けて動くとき。
のいずれかである。よって， \[ p_3=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27} \](2) $n$回の試行の後，2つのコマが対角線上にある確率を$a_n$， 隣りあう確率を$b_n$とする。試行の条件から次の漸化式が成立する。 \[ a_0=1,\ b_0=0,\ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n\\ b_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \end{array} \right. \] これより，$a_n$を消去する。 \begin{eqnarray*} b_{n+2}&=&\dfrac{2}{3}a_{n+1}+\dfrac{1}{3}b_{n+1} =\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}b_n \right)+\dfrac{1}{3}b_{n+1}\\ &=&\dfrac{2}{9}a_n+\dfrac{2}{9}b_n+\dfrac{1}{3}b_{n+1} =\dfrac{1}{3}\left(b_{n+1}-\dfrac{1}{3}b_n \right)+\dfrac{2}{9}b_n+\dfrac{1}{3}b_{n+1}\\ &=&\dfrac{2}{3}b_{n+1}+\dfrac{1}{9}a_n \end{eqnarray*} つまり， \[ b_{n+2}-\dfrac{2}{3}b_{n+1}-\dfrac{1}{9}b_n=0 \] $\alpha$と$\beta$を \[ b_{n+2}-(\alpha+\beta)b_{n+1}+\alpha\beta b_n=0 \] となるようにとる．$\alpha+\beta=\dfrac{2}{3}$，$\alpha\beta=-\dfrac{1}{9}$ より，$\alpha$と$\beta$は2次方程式 \[ t^2-\dfrac{2}{3}t-\dfrac{1}{9}=0 \] の2解となり， \[ \alpha=\dfrac{1- \sqrt{2}}{3},\ \beta=\dfrac{1+ \sqrt{2}}{3} \] ととる．このとき， \[ b_{n+2}-\alpha b_{n+1}=\beta\left(b_{n+1}-\alpha b_n \right) \] と変形される。$b_1=\dfrac{2}{3}$なので， \[ b_{n+1}-\alpha b_n=\beta^n(b_1-b_0)=\dfrac{2}{3}\beta^n \] である。同様に \[ b_{n+1}-\beta b_n=\alpha^n(b_1-b_0)=\dfrac{2}{3}\alpha^n \] 辺々引いて \[ (\beta-\alpha)b_n=\dfrac{2}{3}(\beta^n-\alpha^n) \] つまり， \[ \dfrac{2\sqrt{2}}{3}b_n =\dfrac{2}{3}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3} \right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{3} \right)^n\right\} \] ちょうど$n$回サイコロが振られたときに勝敗が決まるのは， $n-1$回の試行の後コマが隣りあい，$n$回目にそれが重なるときなので， \[ p_n=\dfrac{1}{3}b_{n-1} =\dfrac{\sqrt{2}}{6}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3} \right)^{n-1} -\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{3} \right)^{n-1}\right\} \] である。
(3) $p_n$は$n$に関して単調減少であることを示す． $n\ge 3$のとき． \begin{eqnarray*} \dfrac{6}{\sqrt{2}}\left(p_n-p_{n+1}\right)&=&\beta^{n-1}-\alpha^{n-1}-\beta^n+\alpha^n\\ &=&\beta^{n-1}(1-\beta)-\alpha^{n-1}(1-\alpha)\\ &=&\beta^{n-1}\left(\dfrac{1}{3}+\alpha\right)-\alpha^{n-1}\left(\dfrac{1}{3}+\beta\right)\\ &=&\dfrac{1}{3}\left(\beta^{n-1}-\alpha^{n-1} \right)+\alpha\beta\left(\beta^{n-2}-\alpha^{n-2} \right)\\ &=&\dfrac{1}{3}\left(\beta^{n-1}-\alpha^{n-1} \right)-\dfrac{1}{9}\left(\beta^{n-2}-\alpha^{n-2} \right)\\ &=&\dfrac{1}{3}\beta^{n-2}\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3} \right) -\dfrac{1}{3}\alpha^{n-2}\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3} \right)\\ &=&\dfrac{\sqrt{2}}{9}\left(\beta^{n-2}+\alpha^{n-2} \right) \end{eqnarray*} $ |\alpha|<|\beta| $ より， $ \beta^{n-2}+\alpha^{n-2} > 0 $ であるので， $ p_n>p_{n+1} $ が示された． \[ \begin{array}{l} p_1=\dfrac{1}{3}b_0=0\\ p_2=\dfrac{1}{3}b_1=\dfrac{2}{9}\\ p_3=\dfrac{1}{3}b_2=\dfrac{1}{27} \end{array} \] なので， $ n\geqq 2 $ で $p_n>p_{n+1} $ である． $ p_1=0 $ なので， \[ \sum_{m=1}^{\left[\frac{N+1}{2} \right]}p_{2m-1}= \sum_{m=2}^{\left[\frac{N+1}{2} \right]}p_{2m-1}= \sum_{m=1}^{\left[\frac{N-1}{2} \right]}p_{2m+1} \] となる．よって， \begin{eqnarray*} &&\sum_{m=1}^{\left[\frac{N}{2} \right]}p_{2m}-\sum_{m=1}^{\left[\frac{N+1}{2} \right]}p_{2m-1} =\sum_{m=1}^{\left[\frac{N}{2} \right]}p_{2m}-\sum_{m=1}^{\left[\frac{N-1}{2} \right]}p_{2m+1}\\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \sum_{m=1}^Mp_{2m}-\sum_{m=1}^{M-1}p_{2m+1}>p_{2M}>0&(N=2M)\\ \displaystyle \sum_{m=1}^{M-1}p_{2m}-\sum_{m=1}^{M-1}p_{2m+1}>0&(N=2M-1) \end{array} \right. \end{eqnarray*} である．よって，(3)の不等式が示された．