2020年入試問題研究に戻る2020奈良医後期第4問
数列 $ a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots $ を $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ と記すことにする． 数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ が周期数列であるとは， ある正整数 $ q $ が存在し，0以上の任意の整数 $ n $ に対して等式 $ a_{n+q}=a_n $ が成り立つこととする． このとき， $ q $ を周期数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ の周期という． 二つの数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ と $ \{b_n\}_{n=0,1,\cdots} $ とが等しいとは， 0以上の任意の整数 $ n $ に対して， $ a_n=b_n $ が成り立つこととする．
(1) 周期数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ が与えられたとき， 正整数 $ p $ を $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ の最小の周期とする．このとき， $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ の任意の周期 $ q $ は $ p $ で割り切れることを証明せよ．
(2) 数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ を周期数列とする．0以上の整数 $ i $ に対して， 周期数列 $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ を， $ a_n^{(i)}=a_{n+i} $ ， $ n=0,1,\cdots $ により定義する． もし， $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ の周期 $ p\ ( >1) $ が素数であり，関係式 $ a_0=a_1=\cdots=a_{p-1} $ を満たさなければ， $ p $ 個の周期数列 $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ $ (i=0,\ 1,\ \cdots,\ p-1) $ はすべて相異なることを証明せよ．
(3) $ c $ を正整数， $ p\ (>1) $ を素数とする．周期 $ p $ の周期数列 $ \{x_n\}_{n=0,1,\cdots} $ で， 0以上の任意の整数 $ n $ について $ x_n $ は1以上 $ c $ 以下の整数であるもの全体のなす集合を $ S $ とおく． $ S $ の要素の個数を求めよ．またこれを用いて， $ c^p-c $ は $ p $ の倍数であることを証明せよ．