2020年入試問題研究に戻る2020奈良医後期第4問解答
(1) 周期 $ q $ を $ p $ で割った余りを $ r $ とする． $ q=pk+r\ (0\leqq r< p) $ である． $ q $ と $ p $ が周期なので， \begin{eqnarray*} a_n&=&a_{n+q}=a_{n+pk+r}\\ &=&a_{n+p(k-1)+r+p}=a_{n+p(k-1)+r} \end{eqnarray*} これをくりかえして \[ a_n=a_{n+r} \] となり， $ r >0 $ なら $ r $ も周期である． これは $ p $ が最小であることと矛盾する． よって， $ r=0 $ ．つまり任意の周期 $ q $ は $ p $ で割り切れる．
(2) 異なるる $ i $ と $ j $ $ (0\leqq i< j\leqq p-1) $ に対し，相等しい 周期数列 $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ と 周期数列 $ \{a_n^{(j)}\}_{n=0,1,\cdots} $ が存在するとする． このとき $ n=0,1,\cdots $ に対して， \[ a_{n+i}=a_{n+j}=a_{n+i+j-i} \] が成り立つ．周期数列 $ \{b_n\}_{n=0,1,\cdots} $ を \[ b_n=a_{n+i} \] で定める． $ b_n $ は $ n=0,1,\cdots $ に対して， \[ b_n=b_{n+p},\ かつ\ b_n=b_{n+j-i} \] がなりたつ． $ p $ と $ j-i $ が周期である． $ p $ が最小なので， $ j-i=0 $ となり， 仮定と矛盾する．よって， $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ はすべて異なる．
(3) $ a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{p-1} $ を定めれば周期 $ p $ の数列は定まる． したがって，1以上 $ c $ 以下の値をとる数列は $ c^p $ 個ある．
このうち， $ a_0=a_1=\cdots=a_{p-1} $ ，つまり周期0であるものは $ c $ 個あり， $ p >1 $ となるものは $ c^p-c $ 個ある．
数列 $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ を用いて， $ p $ 個の周期数列 $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ を， $ a_n^{(i)}=a_{n+i} $ ， $ n=0,1,\cdots $ により定義した． そのうちの1つの数列 $ a_n^{(i_0)} $ をとる．これを用いて同様に数列を作る． \[ a_n^{(i)}=a_{n+i_0+i} \] となるので， $ i_0+i\equiv j\quad (\bmod \ p) $ となる $ j $ をとれば， $ \{a_n\}_{n=0,1,\cdots} $ を用いて作った $ a_n^{(j)} $ になる．
よって， $ p >1 $ である数列 $ \{a_n\} $ の集合は， たがいに共通なもののない $ p $ 個ずつの部分集合の和となる． これより， $ c^p-c $ は $ p $ の倍数である．
※ 周期 $ p $ の周期順列は，円周上に $ p $ 個の点を取り， 0 から $ p-1 $ の番号をつけ， そこに $ p $ 個の数を並べたものに対応している．
(2)の順列 $ \{a_n^{(i)}\}_{n=0,1,\cdots} $ は， その円順列の $ i $ 番の点の数からはじめる数列である．
このように円順列と対応させて考えれば，(3)もわかりやすい．